高斯曲率的計(jì)算公式(1)

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1、第二章曲面論高斯曲率的計(jì)算公式高斯定理。注意，，。所以，22利用行列式的轉(zhuǎn)置性質(zhì)和矩陣乘法性質(zhì)，得，（其中用到行列式按第三行展開計(jì)算的性質(zhì)。）22利用，，，可得，，，，，。由于，，，所以，22于是得到公式被稱為高斯定理，且被譽(yù)為高斯絕妙定理。將上式中的行列式按第三列展開，并化簡，可得，高斯絕妙定理斷言一個(gè)曲面的高斯曲率可以只用第一類基本量及其導(dǎo)數(shù)表示，從而事實(shí)上是曲面的一個(gè)內(nèi)蘊(yùn)不變量。高斯曲率用第一類基本量22明確的表達(dá)式由Brioschi公式給出。存在等距對(duì)應(yīng)的兩曲面，曲面上對(duì)應(yīng)點(diǎn)處的高斯曲率必相等。球面片與平面片之間不存在等距對(duì)應(yīng)。，。特別地，當(dāng)曲面：上的坐標(biāo)曲

2、線網(wǎng)是正交網(wǎng)時(shí)，22，此時(shí)，即得，經(jīng)過觀察，通過湊微分，得到，22故有，（驗(yàn)算這個(gè)量的散度的動(dòng)因，是用測地曲率的劉維爾公式，推導(dǎo)高斯-波涅公式時(shí)，出現(xiàn)求散度的運(yùn)算，導(dǎo)致兩者的表達(dá)方式是一致的。）。，。如果曲面在參數(shù)坐標(biāo)網(wǎng)下的第一基本形式為，則稱此坐標(biāo)網(wǎng)為等溫參數(shù)網(wǎng)。，22，其中是關(guān)于變量的Laplace算子.于是在曲面上取等溫參數(shù)網(wǎng)時(shí)，，，其中.此時(shí)。例求第一基本形式為的曲面高斯曲率。解因?yàn)?，所?2。半測地坐標(biāo)網(wǎng)下，高斯曲率的計(jì)算公式在類曲面：上選一條測地線為--曲線：；再取與正交的測地線族為--曲線，另取這測地線族的正交軌線為--曲線，則得一半測地坐標(biāo)網(wǎng)。對(duì)于這

3、個(gè)半測地坐標(biāo)網(wǎng)而言，曲面的第一基本形式可以簡化為，其中滿足條件。在曲面上選取了半測地22坐標(biāo)網(wǎng)后，曲面的高斯曲率有如下的計(jì)算公式。常高斯曲率的曲面現(xiàn)在設(shè)曲面的高斯曲率是常數(shù)，即常數(shù)，則得微分方程。根據(jù)初始條件：，我們可按以下不同情形求出這個(gè)微分方程的解。（1）正常數(shù)高斯曲率的曲面，，此時(shí)。根據(jù)初始條件，可得，于是，22。實(shí)例：考慮球心在原點(diǎn)，半徑為的球面。取赤道為最初給定的測地線，則所有經(jīng)線是與赤道正交的測地線，所有緯線是這測地線族的正交軌線，因此球面上的經(jīng)線和緯線構(gòu)成半測地坐標(biāo)網(wǎng)。設(shè)球面上點(diǎn)的經(jīng)度為，緯度為，則球面的參數(shù)表示是。，，。22在球面上重新選擇參數(shù)，命于

4、是，高斯曲率，因此得到，所以正常數(shù)高斯曲率的曲面的第一基本形式與球面的相同。正常數(shù)高斯曲率的曲面與同高斯曲率的球面之間存在著保距變換。（2），從而有，因此，所以零高斯曲率的曲面的第一基本形式與平面的相同。22（3）負(fù)常數(shù)高斯曲率的曲面，，此時(shí)。根據(jù)初始條件，可得，于是，。由此可知,具有相同常數(shù)高斯曲率的曲面都可適當(dāng)選取參數(shù),使曲面具有相同的第一基本形式,因此可建立等距對(duì)應(yīng).由上述定理知道,具有常數(shù)高斯曲率的曲面(這種曲面稱為常曲率曲面)可按K>0;K=0;K<0分成三種類型.而屬于同一類型的曲面它們的內(nèi)在幾何是相同的.平面作為高斯曲率為零的代表;球面作為高斯曲率為正

5、常數(shù)的代表.換句話說,22高斯曲率為零的曲面都可以與平面建立等距對(duì)應(yīng),高斯曲率為正常數(shù)的曲面都可以與球面建立等距對(duì)應(yīng).那么自然會(huì)問什么曲面可以作為高斯曲率為負(fù)常數(shù)的代表?設(shè),我們可以在旋轉(zhuǎn)曲面中找出這個(gè)代表.設(shè)旋轉(zhuǎn)曲面的待定母線為平面中的曲線.把它繞z軸旋轉(zhuǎn)后形成了旋轉(zhuǎn)面，；代入旋轉(zhuǎn)曲面的高斯曲率公式得其高斯曲率為為了使這個(gè)曲面的高斯曲率22所以待定函數(shù)就必須滿足下列方程:，將其改寫成，兩邊積分后得到取積分常數(shù),于是可解出，由此得出，，令，則，于是。因此，以母線22繞z-軸旋轉(zhuǎn)后所得的旋轉(zhuǎn)曲面的高斯曲率正好等于負(fù)常數(shù)。我們把母線(4.4)稱為曳物線.而把曳物線繞z-

6、軸旋轉(zhuǎn)后所得的曲面稱為偽球面.由著名的高斯定理,曲面的高斯曲率K被其第一基本形式完全確定.因此,若兩個(gè)曲面可建立等距對(duì)應(yīng),則對(duì)應(yīng)點(diǎn)的高斯曲率必相等.但反之則不然.【例１】證明:曲面，（正螺面），(旋轉(zhuǎn)曲面)在點(diǎn)與處的高斯曲率相等,但曲面S與不存在等距對(duì)應(yīng).22【證明】容易算出正螺面與旋轉(zhuǎn)曲面的第一基本形式分別為，再利用正交網(wǎng)時(shí)高斯曲率的計(jì)算公式(即高斯方程)經(jīng)過計(jì)算得出曲面S和的高斯曲率分別為，。因此取對(duì)應(yīng)點(diǎn)，便成立22。但是曲面S與不存在等距對(duì)應(yīng).我們用反證法.若曲面S與之間存在等距對(duì)應(yīng),它的對(duì)應(yīng)關(guān)系為則對(duì)應(yīng)點(diǎn)的高斯曲率必相等,所以得出，即，或；(1)若則或。因此

7、對(duì)應(yīng)關(guān)系為這時(shí)的第一基本形式，因?yàn)槭堑染鄬?duì)應(yīng),故，比較得出22由其中第二式得出或,再由第一式或第三式得出或，這顯然不可能成立.因此這種情況不可能.(1)若，則。這顯然不可能成立.因此曲面S與之間不能存在等距對(duì)應(yīng).盡管在對(duì)應(yīng)點(diǎn)具有相同高斯曲率的曲面不能建立等距對(duì)應(yīng),但是對(duì)高斯曲率為常數(shù)的曲面,若在對(duì)應(yīng)點(diǎn)具有相同高斯曲率是必可建立等距對(duì)應(yīng)的.22定理4.1(Minding定理)具有相同常數(shù)高斯曲率的曲面總可建立局部等距對(duì)應(yīng).證明設(shè)曲面S的高斯曲率K是常數(shù),。在S上取任意點(diǎn)P和過P點(diǎn)的任意測地線,把作為--曲線；且從P點(diǎn)起的弧長為v.再取與正交的測地線族為--曲線，另