量子力學導論Chap5-2new

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1、§5.3薛定諤繪景與海森堡繪景1、薛定諤繪景力學量A不顯含時間,對應的算符本身也不隨時間變化。其平均值和測值幾率分布隨時間的演化完全歸于波函數(shù)?隨時間的演化。平均值波函數(shù)演化方程薛定諤方程平均值隨時演化方程這種描述方式稱為薛定諤繪景(Schr?dingerPicture,或者Schr?dingerRepresentation)但問題是:波函數(shù)和算符本身都不是觀測對象,實際觀測對象是各種力學量的平均值和測值幾率分布。它們隨時間的變化,還可以用其他方式表達,其中之一就是海森堡繪景(HeisenbergPicture或者HeisenbergRepresentation)。2

2、、海森堡繪景體系的波函數(shù)?(態(tài)矢)不隨時間的演化,而算符隨時間改變。由薛定諤方程,形式上波函數(shù)?(t)的解寫為代入薛定諤方程,得U(t,0)為時間演化算符因為?(0)為任意函數(shù),所以其實,U(t,0)是將t時刻的狀態(tài)?(t)與初態(tài)?(0)聯(lián)系起來的一個連續(xù)變化的算符。如果H為厄米算符,則U(t,0)滿足如下么正變換從而保證幾率守恒力學量A的平均值其中已令可見,A的平均值隨時間的演化,完全可由算符A(t)來擔當,而保持態(tài)矢?(0)不隨時間變化。算符A(t)隨時間的演化方程Heisenberg方程描述算符A(t)隨時演化?!?.4守恒量與對稱性的關系1、經(jīng)典力學下的守恒定

3、律與對稱性人們早已認識到守恒定律與對稱性的關系:三個典型例子:空間平移不變性(空間均勻性)?動量守恒空間轉(zhuǎn)動不變性(空間各向同性)?角動量守恒時間平移不變性(時間均勻性)?能量守恒重要性借助守恒量(運動積分),可以使運動方程的求解大為簡化,特別是在求解牛頓方程時更是如此。2、量子力學的守恒量與對稱性的關系量子力學關于對稱性的研究大大豐富了對微觀體系的認識:借助體系對稱性和守恒量及二者之間關系的分析,往往不用嚴格求解薛定諤方程就可得出非常重要的結論。(1)對稱性變換設某種線形變換Q,其逆Q-1存在且不依賴于時間。體系的狀態(tài)?經(jīng)Q變換后為??,即變換的不變性表現(xiàn)為?和??

4、遵守相同形式的運動方程,即薛定諤方程此乃哈密頓量在變換Q下不變性的數(shù)學表達式,凡是滿足該式的變換,稱為體系的對稱性變換。(2)對稱性變換與守恒量的關系體系所有對稱性變換構成一個群(group)。此外,根據(jù)幾率守恒的要求,Q必須為么正算符。對于連續(xù)變換,可以考慮無窮小變換,令F為厄米算符,可用來定義一個與Q變換相聯(lián)系的可觀測量。又由于對稱性變換要求[Q,H]=0,則可得[F,H]=0??梢奆就是體系的一個守恒量。(3)兩個例子a.空間平移不變性與動量守恒xx+?x??′=D?對D?(x)=?(x-?x)進行展開px也就是我們熟知的一維動量算符擴展至三維空間的無窮小平移,

5、r?r+?r總之,如果體系具有空間平移對稱性,則體系的動量守恒。b.空間旋轉(zhuǎn)不變性與角動量守恒設?為標量波函數(shù)對R?(?)=?(?-??)進行展開Lz也就是我們熟知的z軸的角動量算符擴展至三維空間繞n方向的無窮小旋轉(zhuǎn),???rnrr+?r對?(r-??n?r)進行展開,得其中,l=r?p為角動量算符。

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