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《第12講：數(shù)學(xué)解題方法之反證法和數(shù)學(xué)歸納法探討》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在行業(yè)資料-天天文庫(kù)。
1、【備戰(zhàn)2013高考數(shù)學(xué)專題講座】第12講：數(shù)學(xué)解題方法之反證法和數(shù)學(xué)歸納法探討江蘇泰州錦元數(shù)學(xué)工作室編輯3～8講，我們對(duì)數(shù)學(xué)思想方法進(jìn)行了探討，從第九講開(kāi)始我們對(duì)數(shù)學(xué)解題方法進(jìn)行探討。數(shù)學(xué)問(wèn)題中，常用的數(shù)學(xué)解題方法有待定系數(shù)法、配方法、換元法、數(shù)學(xué)歸納法、反證法等。反證法是“間接證明法”一類，是從反面的角度的證明方法，即：肯定題設(shè)而否定結(jié)論，從而得出矛盾。具體地講，反證法就是從反論題入手，把命題結(jié)論的否定當(dāng)作條件，使之得到與條件相矛盾，肯定了命題的結(jié)論，從而使命題獲得了證明。在應(yīng)用反證法證題時(shí)，一定要用到“反設(shè)”，否則就不是反證法。
2、用反證法證題時(shí)，如果欲證明的命題的方面情況只有一種，那么只要將這種情況駁倒了就可以，這種反證法又叫“歸謬法”；如果結(jié)論的方面情況有多種，那么必須將所有的反面情況一一駁倒，才能推斷原結(jié)論成立，這種證法又叫“窮舉法”。數(shù)學(xué)上證明與自然數(shù)N有關(guān)的命題的一種特殊方法，它主要用來(lái)研究與自然數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)問(wèn)題，在高中數(shù)學(xué)中常用來(lái)證明等式成立和數(shù)列通項(xiàng)公式成立。一般地，在高中數(shù)學(xué)中證明一個(gè)與自然數(shù)n有關(guān)的命題P(n），有如下步驟： ?。?）證明當(dāng)n取第一個(gè)值n0時(shí)命題成立。n0對(duì)于一般數(shù)列取值為0或1，但也有特殊情況； ?。?）假設(shè)當(dāng)n=k（k≥n
3、0，k為自然數(shù)）時(shí)命題成立，證明當(dāng)n=k+1時(shí)命題也成立。 綜合（1）（2），對(duì)一切自然數(shù)n（≥n0），命題P(n）都成立。結(jié)合2012年全國(guó)各地高考的實(shí)例探討反證法和數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用：一、反證法的應(yīng)用：典型例題：【版權(quán)歸錦元數(shù)學(xué)工作室，不得轉(zhuǎn)載】例1：（2012年上海市理18分）對(duì)于數(shù)集，其中，，定義向量集.若對(duì)于任意，存在，使得，則稱X具有性質(zhì)P.例如具有性質(zhì)P.（1）若＞2，且，求的值；（4分）（2）若X具有性質(zhì)P，求證：1?X，且當(dāng)n＞1時(shí)，1=1；（6分）（3）若X具有性質(zhì)P，且1=1，（為常數(shù)），求有窮數(shù)列的通項(xiàng)公式.（
4、8分）【答案】解：（1）選取，則Y中與垂直的元素必有形式。∴，從而=4。（2）證明：取，設(shè)滿足。由得，∴、異號(hào)?！撸?是X中唯一的負(fù)數(shù)，所以、中之一為－1，另一為1。故1?X。假設(shè)，其中，則。選取，并設(shè)滿足，即。則、異號(hào)，從而、之中恰有一個(gè)為－1。若=－1，則，矛盾；若=－1，則，矛盾.∴=1。（3）猜測(cè)，i=1,2,…,。記，=2,3,…,。先證明：若具有性質(zhì)P，則也具有性質(zhì)P。任取，、?.當(dāng)、中出現(xiàn)－1時(shí)，顯然有滿足。當(dāng)且時(shí)，、≥1?！呔哂行再|(zhì)P，∴有，、?，使得。從而和中有一個(gè)是－1，不妨設(shè)=－1，假設(shè)?且?，則。由，得，與?
5、矛盾?！?，從而也具有性質(zhì)P?，F(xiàn)用數(shù)學(xué)歸納法證明：，i=1,2,…,。當(dāng)=2時(shí)，結(jié)論顯然成立。假設(shè)時(shí)，有性質(zhì)P，則，i=1,2,…,；則當(dāng)時(shí)，若有性質(zhì)P，則也有性質(zhì)P，所以。取，并設(shè)滿足，即。由此可得與中有且只有一個(gè)為－1。若，則，所以，這不可能；∴，，又，所以。綜上所述，，i=1,2,…,。【考點(diǎn)】數(shù)集、集合的基本性質(zhì)、元素與集合的關(guān)系，數(shù)學(xué)歸納法和反證法的應(yīng)用?！窘馕觥浚?）根據(jù)題設(shè)直接求解。（2）用反證法給予證明。（3）根據(jù)題設(shè)，先用反證法證明：若具有性質(zhì)P，則也具有性質(zhì)P，再用數(shù)學(xué)歸納法證明猜測(cè)，i=1,2,…,。例2：（2
6、012年北京市理13分）設(shè)A是由m×n個(gè)實(shí)數(shù)組成的m行n列的數(shù)表，滿足：每個(gè)數(shù)的絕對(duì)值不大于1，且所有數(shù)的和為零，記s(m，n)為所有這樣的數(shù)表構(gòu)成的集合。對(duì)于A∈S(m，n)，記Ri(A)為A的第ⅰ行各數(shù)之和（1≤ⅰ≤m），Cj(A)為A的第j列各數(shù)之和（1≤j≤n）；記K(A)為∣R1(A)∣,∣R2(A)∣,…,∣Rm(A)∣,∣C1(A)∣,∣C2(A)∣,…,∣Cn(A)∣中的最小值。（1）對(duì)如下數(shù)表A，求的值；11－0.80.1－0.3－1（2）設(shè)數(shù)表A∈S（2,3）形如11cab－1求的最大值；（3）給定正整數(shù)t，對(duì)于
7、所有的A∈S（2，2t+1），求的最大值?！敬鸢浮拷猓海?）由題意可知，∴。（2）先用反證法證明：若，則，∴（無(wú)解）。同理可知?！?。由題設(shè)所有數(shù)和為0，即，∴，解得，與題設(shè)矛盾。∴。易知當(dāng)時(shí)，存在?！嗟淖畲笾禐?。（3）的最大值為。首先構(gòu)造滿足的：，。經(jīng)計(jì)算知，中每個(gè)元素的絕對(duì)值都小于1，所有元素之和為0，且，，。下面證明是最大值。若不然，則存在一個(gè)數(shù)表A∈S（2，2t+1），使得。由的定義知的每一列兩個(gè)數(shù)之和的絕對(duì)值都不小于，而兩個(gè)絕對(duì)值不超過(guò)1的數(shù)的和，其絕對(duì)值不超過(guò)2，故的每一列兩個(gè)數(shù)之和的絕對(duì)值都在區(qū)間中.由于，故的每一列兩
8、個(gè)數(shù)符號(hào)均與列和的符號(hào)相同，且絕對(duì)值均不小于。設(shè)中有列的列和為正，有列的列和為負(fù)，由對(duì)稱性不妨設(shè)，則。另外，由對(duì)稱性不妨設(shè)的第一行行和為正，第二行行和為負(fù)?？紤]的第一行，由前面結(jié)論知的第一行有不超過(guò)個(gè)正數(shù)和不少于個(gè)負(fù)數(shù)，每個(gè)正數(shù)的絕對(duì)
