可降階的高階微分方程(V)

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1、6.4可降階的高階常微分方程二階和二階以上的微分方程，稱為高階微分方程。通過變量代換將高階方程轉(zhuǎn)化為較低階的微分方程進(jìn)行求解的方法，稱為“降階法”。“降階法”是解高階方程常用的方法之一。這是變量可分離的方程，兩邊積分，得即只需連續(xù)進(jìn)行n次積分即可求解這類方程，但請(qǐng)注意：每次積分都應(yīng)該出現(xiàn)一個(gè)積分常數(shù)。例解例6.35解這是一個(gè)一階微分方程。設(shè)其通解為連續(xù)積分即可求解。教材上是n=2的特例例解兩邊積分，得即再積分，得原方程的通解例6.37解即上述方程可化為故所以于是，原方程化為這是一個(gè)一階微分方程(p為函數(shù)，y為自變量)。設(shè)其通解為這是一個(gè)變量分離方程，它的通解就是原方程的通

2、解。解于是，原方程化為例6.38或或例6.39解原方程化為例6.40（略）例6.41解原方程可化為例6.42解而由原方程及求導(dǎo)后的方程可知，有于是，原方程成為如下初值問題的解：所以形如的方程稱為克萊羅方程，其中函數(shù)f為可微函數(shù)?？梢灾苯訉懗鲈摲匠痰耐ń猓翰⑶矣上铝蟹匠探M可求得該方程的奇解：（略）證將克萊羅方程兩邊關(guān)于x求導(dǎo)，得(通解)例解原方程即由題意這是一個(gè)克萊羅方程，故其通解為故原方程有奇解綜上所述，原方程的通解為且方程還有奇解