[理學][課件]概率與統(tǒng)計 43 協(xié)方差相關系數(shù)與矩

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1、§4.3協(xié)方差.相關系數(shù)與矩D(X＋Y)=D(X)＋D(Y)+2E{[X－E(X)][Y－E(Y)]}D(X－Y)=D(X)＋D(Y)－2E{[X－E(X)][Y－E(Y)]}當研究的問題涉及多個隨機變量的時候,變量與變量之間的關系,是必須關注的一個方面.本節(jié)介紹的協(xié)方差、相關系數(shù)就是描述隨機變量之間相互關系的數(shù)字特征.定義4.3.1若E{[X－E(X)][Y－E(Y)]}存在，稱Cov(X,Y)=E{[X－E(X)][Y－E(Y)]}為隨機變量(X,Y)的協(xié)方差.有D(X)=Cov(X,X)；一.協(xié)方差D(X±Y

2、)=D(X)+D(Y)±2Cov(X,Y)協(xié)方差的性質(zhì)：1.Cov(X,Y)＝Cov(Y,X)；3.Cov(X1+X2,Y)＝Cov(X1,Y)+Cov(X2,Y).常用計算公式：cov(X,Y)＝E(XY)－E(X)E(Y)例4.3.1例4.3.22.Cov(aX,bY)＝abCov(X,Y),a,b是常數(shù)；二、相關系數(shù)定義4.3.2設二維隨機變量X,Y的D(X)>0,D(Y)>0,稱為隨機變量X與Y的相關系數(shù).注1）ρXY是一無量綱的量.2）標準化隨機變量的協(xié)方差性質(zhì)設隨機變量X,Y的相關系數(shù)ρ存在，則1）

3、ρ

4、

5、?1;2）

6、ρ

7、＝1X與Y依概率為1線性相關.即證明相關系數(shù)是衡量兩個隨機變量之間線性相關程度的數(shù)字特征.練習將一枚硬幣重復拋擲n次,X,Y分別表示正面朝上和反面朝上的次數(shù)，則ρXY＝－1注1若隨機變量X,Y的相關系數(shù)ρXY存在,2）ρXY＝-1，則α<0稱X,Y負相關；1）若ρXY＝1，3）ρXY＝0，稱X,Y不相關.注2ρXY＝0僅說明X,Y之間沒有線性關系，但可以有其他非線性關系.參見講義P114例4.4.4中的α>0,稱X,Y正相關；定理4.3.1若隨機變量X與Y相互獨立，則X與Y不相關，即有ρXY＝0.

8、注2若(X,Y)~N(μ1,σ21;μ2,σ22;ρ),則X,Y相互獨立ρXY＝0.注1此定理的逆定理不成立,即由ρXY＝0不能得到X與Y相互獨立.例4.3.3參見P116例4.4.6例4.3.5例4.3.4定義4.3.3設n維隨機變量(X1,X2,…,Xn)的協(xié)方差均存在,稱矩陣為(X1,X2,…,Xn)的協(xié)方差矩陣.Cij=Cov(Xi,Xj)其中有Cov(X,Y)=E{[X－E(X)][Y－E(Y)]}D(X)=cov(X,X)三、協(xié)方差矩陣的性質(zhì)例4.3.63）C是非負定矩陣；對稱陣四.矩定義4.3.4設X

9、為隨機變量,若E(

10、X

11、k)<+∞,稱gk=E(Xk)k=1,2,3…..為X的k階原點矩.稱ak=E(

12、X

13、k),k=1,2,3…..為X的k階絕對原點矩.定義4.3.5設X為隨機變量,若E[

14、X－E(X)

15、k]<+∞,稱mk=E{[X－E(X)]k}k=1,2,3…..為X的k階中心矩.稱bk=E[

16、X－E(X)

17、k]k=1,2,3…..為X的k階絕對中心矩.其中D(X)=E{[X－E(X)]2}=E(X2)－[E(X)]2注意到μ2=D(X),γ1=E(X),γ2=E(X2)更一般的,因μ1=0,可得數(shù)學期望

18、線性性質(zhì)隨機變量的矩是數(shù)！??！例4.3.1(X,Y)在以原點為圓心的單位圓內(nèi)服從均勻分布求Cov(X,Y).解因同理有?故Cov(X,Y)=E(XY)－E(X)E(Y)=E(XY）例4.3.2設隨機變量相互獨立同分布，且其方差為，令計算協(xié)方差解?1）

19、ρ

20、?1定理證明2）

21、ρ

22、＝1X與Y依概率為1線性相關，即或者?例4.3.3(X,Y)在以原點為圓心的單位圓內(nèi)服從均勻分布已計算得Cov(X,Y)=0.隨機變量不相關不一定相互獨立!當x2+y2≤1,?例4.3.4設二維隨機變量（X,Y）在矩形G={(x,y)

23、0≤x

24、≤2，0≤y≤1}上服從均勻分布．記求ρUV.GxyO關鍵是求E(UV)可先求出UV分布律.解由已知可得GxyO?例4.3.5某集裝箱中放有100件產(chǎn)品,其中一、二、三等品分別為80、10、10件.現(xiàn)從中任取一件，記關鍵是求E(X1X2)求出X1X2分布律需求解由已知可得E(X1X2)=1×P{X1X2=1}＋0×P{X1X2=0}=1×0＋0×1=0?例4.3.6設二維隨機變量(X,Y)的聯(lián)合概率密度為求:(X,Y)的協(xié)方差矩陣。分析計算(X,Y)的協(xié)方差矩陣,本質(zhì)上就是計算X、Y的方差和協(xié)方差.解先計算E(X)

25、,E(Y)為計算方差,再計算E(X2),E(Y2)得到為計算協(xié)方差,計算E(XY)得到Cov(X,Y)于是,(X,Y)的協(xié)方差矩陣為?例4.3.7設隨機變量X、Y相互獨立,X~N(1,2),Y~N(0,1),求Z=2X－Y+3的概率密度。解Z是相互獨立的正態(tài)分布隨機變量X、Y的線性組合,故Z也服從正態(tài)分布;計算Z的均值和方差,有E(Z)=2E(X)－E(Y)