概率論課件協(xié)方差與相關(guān)系數(shù).ppt

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1、4.4協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)1.定義4.4設(shè)(X,Y)是二維隨機(jī)變量，若X的E(X)，D(X)和Y的E(Y),D(Y)都存在,則稱cov(X,Y)=E{[X?E(X)][Y?E(Y)]}.為X與Y的協(xié)方差,記作cov(X,Y)，易見cov(X,Y)=E(XY）-E(X)E(Y).當(dāng)cov(X,Y)=0時(shí)，稱X與Y不相關(guān)。4.4.1.協(xié)方差2.協(xié)方差性質(zhì)(1)cov(X,Y)=cov(Y,X);(2)cov(X,X)=D(X);cov(X,c)=0(3)cov(aX,bY)=abcov(X,Y),其中a,b為常數(shù)；(4)cov(X+Y，Z)=cov(X,Z)+cov(Y,Z);(5)

2、D(X±Y)=D(X)+D(Y)±2cov(X,Y).當(dāng)X與Y相互獨(dú)立時(shí)，顯然有D(X±Y)=D(X)+D(Y)例1設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的概率密度為試求cov(X,Y),并討論X與Y是否相互獨(dú)立。解先求X與Y的邊緣概率密度.類似有再求cov(x,y)。容易求得cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=0此例說明，cov(X,Y)=0時(shí)，X與Y不一定相互獨(dú)立。當(dāng)cov(X,Y)=0時(shí)，稱X與Y不相關(guān)。顯然，若X與Y相互獨(dú)立，則它們必不相關(guān)；但若X與Y不相關(guān)，則它們未必相互獨(dú)立。定理4.1(Cauchy_Schwarz不等式）證考慮實(shí)變量t的函數(shù)其中，取U=X-E(X)

3、,V=Y-E(Y),則有例2設(shè)隨機(jī)變量X?B（12,0.5),Y?N(0,1),cov(X,Y)=-1,求V=4X+3Y+1與W=-2X+4Y的方差與協(xié)方差.解從而4.4.2.相關(guān)系數(shù)1.定義4.5若X，Y的方差和協(xié)方差均存在,且D(X)>0,D(Y)>0，則稱為X與Y的相關(guān)系數(shù).2.相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)(1)

4、?XY

5、?1；(2)

6、?XY

7、=1?存在常數(shù)a,b使P{Y=aX+b}=1(3)X與Y不相關(guān)??XY=0;例1.設(shè)(X,Y)服從區(qū)域D:0

8、若（X，Y）服從二維正態(tài)分布，則X與Y獨(dú)立的充分必要條件是X與Y不相關(guān)。即X,Y不相關(guān)與X,Y相互獨(dú)立是等價(jià)的.