概率與數(shù)理統(tǒng)計 4.3 協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)

《概率與數(shù)理統(tǒng)計 4.3 協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在行業(yè)資料-天天文庫。

1、主講宗序平《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》§4.3協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)問題對于二維隨機變量(X,Y):已知聯(lián)合分布邊緣分布對二維隨機變量,除每個隨機變量各自的概率特性外,相互之間可能還有某種聯(lián)系問題:用一個怎樣的數(shù)去反映這種聯(lián)系.一.協(xié)方差定義與性質(zhì)若X,Y獨立,則根據(jù)數(shù)學期望的性質(zhì)，有E(XY)=EXEY為X,Y的協(xié)方差.記為稱定義E{(X-EX)(Y-EY)}=E(XY)-EXEY=0X，Y獨立E{(X-EX)(Y-EY)}=0數(shù)反映了隨機變量X,Y之間的某種關(guān)系Cov(X,Y)=E(XY)-EX?EY.證明若(X,Y)為離散型，若(X,Y)為連續(xù)型，注(1)Cov(X,Y)=Cov(Y,X);(2)

2、Cov(X,X)=D(X);Cov(X,c)=0;(3)Cov(aX,bY)=abCov(X,Y),其中a,b為常數(shù)；(4)Cov(X+Y，Z)=Cov(X,Z)+Cov(Y,Z);協(xié)方差性質(zhì)(5)性質(zhì)1解例１:設(shè)隨機變量X?B(12,0.5),Y?N(0,1),Cov(X,Y)=-1,求V=4X+3Y+1與W=-2X+4Y的方差與協(xié)方差定義:當Cov(X,Y)=0時，稱X與Y不相關(guān)?！癤與Y獨立”和“X與Y不相關(guān)”有何關(guān)系？性質(zhì)2“X與Y獨立”“X與Y不相關(guān)”,反之未必成立.例２設(shè)(X,Y)在D={(X,Y)：x2+y2?1}上服從均勻分布，求證：X與Y不相關(guān)，但不是相互獨立的。性質(zhì)3X

3、與Y為隨機變量,則下列結(jié)果等價(1)X,Y不相關(guān);(2)Cov(X,Y)=0;(3)E(XY)=EXEY;(4)D(X+Y)=DX+DY.二.相關(guān)系數(shù)1.定義若隨機變量X，Y的方差和協(xié)方差均存在,且DX>0,DY>0，則注1：若記稱為X的標準化，易知EX*=0，DX*=1.且稱為X與Y的相關(guān)系數(shù).無量綱的量注2X,Y不相關(guān)X,Y相互獨立X,Y不相關(guān)例3設(shè)(X,Y)~N(?1,?12;?2,?22;?),求?XY解若(X,Y)~N(?1,?12,?2,?22,?),則X,Y相互獨立X,Y不相關(guān)例4設(shè)?~U(0,2?),X=cos?,Y=cos(?+?),?是給定的常數(shù)，求?XY解若若有線性關(guān)

4、系若不相關(guān)，但不獨立，沒有線性關(guān)系，但有函數(shù)關(guān)系引理E(Y2)>0時，當且僅當證令時,等式成立—Cauchy-Schwarz不等式.對任何實數(shù)t,當E(X2)>0,等號成立有兩個相等的實零點即即等號成立即Y與X有線性關(guān)系的概率等于1.2.相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)定理在以上假設(shè)條件下，有(1)

5、?XY

6、?1；(2)

7、?XY

8、=1?存在常數(shù)a,b使P{Y=aX+b}=1；(3)X與Y不相關(guān)??XY=0;1.設(shè)(X,Y)服從區(qū)域D:0

9、三.矩——X,Y的k+l階混合原點矩——X,Y的k+l階混合中心矩——X,Y的二階原點矩—X,Y的二階混合中心矩X,Y的協(xié)方差——X,Y的相關(guān)系數(shù)四.協(xié)方差矩陣1.定義設(shè)X1，…,Xn為n個隨機變量,記cij=Cov(Xi,Xj),i,j=1,2,…,n.則稱由cij組成的矩陣為隨機變量X1，…,Xn的協(xié)方差矩陣C。即例6設(shè)(X,Y)~N(1,4;1,4;0.5),Z=X+Y,求?XZ解若X,Y是兩個r.v.,用X的線性函數(shù)去逼近Y所產(chǎn)生的平均平方誤差為當取平均平方誤差最小.附錄矩在線性回歸中的應用附例設(shè)X,Y相互獨立,且都服從N(0,?2),U=aX+bY,V=aX-bY,a,b為常數(shù)，

10、且都不為零，求?UV解由而故a,b取何值時,U與V不相關(guān)？此時,U與V是否獨立？繼續(xù)討論但U~N(0,2a2?2),V~N(0,2a2?2),若a=b，?UV=0,則U,V不相關(guān).且U,V相互獨立正態(tài)隨機變量的結(jié)論則若(X,Y)則若相互獨立則推廣X,Y相互獨立,六種常用隨機變量的期望與方差小結(jié)