[理學(xué)]概率論第4章隨機(jī)變量的數(shù)字特征

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1、第一節(jié)數(shù)學(xué)期望第二節(jié)方差第三節(jié)協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)隨機(jī)變量的數(shù)字特征第四章基本要求:1.深刻理解數(shù)學(xué)期望與方差的定義;2.熟練掌握期望與方差的性質(zhì);3.能熟練地運(yùn)用期望與方差的定義或性質(zhì)求一些常見的隨機(jī)變量的期望與方差;4.理解獨(dú)立與相關(guān)的概念,會求協(xié)方差與相關(guān)系數(shù);5.了解高階矩的概念.學(xué)時數(shù)6第一節(jié)數(shù)學(xué)期望一、數(shù)學(xué)期望的定義1.離散型定義1設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布律為:若級數(shù)絕對收斂,則稱:為X的數(shù)學(xué)期望(簡稱期望)或均值.2.連續(xù)型定義2設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的分布密度為f(x),若絕對收斂,則稱

2、為X的數(shù)學(xué)期望或均值.注意:(1)期望的定義是結(jié)構(gòu)型的,定義本身給出了求期望的公式,但需知道分布律或分布密度.(2)并不是任何隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望都存在;(3)n維隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望是指n個數(shù)學(xué)期望的總體,即:[例4.1]設(shè)X服從(0---1)分布,即P{X=1}=p,P{X=0}=q,求EX.解:[例4.2]設(shè)x~π(λ),求EX.解:因X的分布律為:[例4.3]設(shè)X~B(n,P),求EX.解:X的分布律為:[例4.4]設(shè)X在[a,b]上服從均勻分布,求X的均值.解:因X的分布密度為:0,其它[

3、例4.5]解:因X的分布密度為:[例4.6]設(shè)X服從參數(shù)為λ的指數(shù)分布,求EX.解:因X的分布密度為:0,x<0*[例4.7]設(shè)X服從參數(shù)λ>0,r>0的伽馬(Gamma)分布,其分布密度為:0,x≤0求EX.解:*[例4.8]設(shè)X服從柯西分布,其分布密度為:試證明X的數(shù)學(xué)期望不存在.證:故X的數(shù)學(xué)期望不存在.*[例4.9]設(shè)(X1,X2)服從二維正態(tài)分布,求(X1,X2)的均值.解:X1,X2的分布密度分別為:又由[例4.5]知:二、隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望定理1設(shè)y=g(x)是連續(xù)實函數(shù),Y=

4、g(X)是隨機(jī)變量X的函數(shù)(1)若X是離散型隨機(jī)變量,其分布律為:若級數(shù)絕對收斂,則E(Y)存在,且(2)若X是連續(xù)型隨機(jī)變量,其分布密度為f(x),且絕對收斂,則E(Y)存在,且證明:Ypig(x1)p1g(x2)p2按照離散型數(shù)學(xué)期望的定義,定理2設(shè)z=g(x,y)是二元連續(xù)函數(shù),Z=g(X,Y)是二維隨機(jī)變量的函數(shù).(1)若(X,Y)是離散型,其聯(lián)合分布律為:且絕對收斂,則(2)若(X,Y)是連續(xù)型,變其分布密度為f(x,y),且絕對收斂,則:注意:(1)求隨機(jī)變量的函數(shù)的期望并不要求知道

5、其分布,只需要知道作為自變量的隨機(jī)變量{X或(X,Y)等}的分布即可.若先求出隨機(jī)變量的函數(shù)的分布,則求期望的問題化為一維隨機(jī)變量的期望問題.[例4.10]設(shè)X的分布律為XP求:(1)2X+1;(2)X2的期望.解:(1)(2)[例4.11]設(shè)X的分布密度為f(x)=求Y=2X+1的均值.解:[例4.12]設(shè)(X,Y)的(聯(lián)合)分布律為:Y求:(1)X+Y;(2)X-Y的均值.X解:(1)(2)[例4.13]設(shè)(X,Y)的聯(lián)合分布密度為:0,其它.求Z=XY的期望.解:小結(jié)三、數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)設(shè)X

6、,Y,Xi(i=1,2,…,n)是隨機(jī)變量,c是常數(shù),則數(shù)學(xué)期望有下列性質(zhì):(1)E(c)=c;(2)E(cX)=cE(X);(3)E(X±Y)=E(X)±E(Y);(4)若X,Y相互獨(dú)立;X1,X2,..Xn相互獨(dú)立,則:證明(4)*[例4.14]設(shè)隨機(jī)變量X服從超幾何分布,其分布律為:求X的數(shù)學(xué)期望.解:設(shè)一批同類產(chǎn)品共有N件,其中次品M件,從中任取n件,則n件中所含次品數(shù)X是隨機(jī)變量,它服從超幾何分布.令Xk=1,第k次抽到次品;0,第k次抽到正品.顯然X=X1+X2+…+Xn,由性質(zhì)(3

7、)得:例4.15市內(nèi)由甲地到乙地須先乘汽車再乘電車,乘汽車和電車運(yùn)行的時間分別為18分鐘和20分鐘,汽車每4分鐘開出一輛,電車每6分鐘開出一輛.設(shè)乘客到達(dá)車站的時刻是隨機(jī)的,因而等汽車所用的時間X~U[0,4],等電車所用的時間Y~U[0,6],求由甲地乘車到乙地所須時間的平均值.解:設(shè)Z表示乘客由甲地到乙地所須的時間,則例4.16一工廠班車載有20位職工自工廠開出,中途有10個車站可以下車.在每一個車站如沒有人下車便不停車.設(shè)每位職工等可能地在各個車站下車,并設(shè)各人是否下車相互獨(dú)立,以X表示停

8、車次數(shù),求E(X).解:引入計數(shù)隨機(jī)變量第二節(jié)方差一、方差的定義定義設(shè)X是一隨機(jī)變量,若E(X-EX)2存在,則稱E(X-EX)2為X的方差.記為D(X),稱為X的均方差.(或標(biāo)準(zhǔn)差)注意:由方差的定義可知,X的方差就是X的函數(shù)Y=(X-EX)2的數(shù)學(xué)期望,故求期望的公式可用來求方差.[例4.17]設(shè)X服從(0---1)分布,求DX.解:[例4.18]設(shè)求方差D(X).解:解:[例4.21]設(shè)X服從參數(shù)為λ的指數(shù)分布,求X的方差與均方差.解:二、方差的性質(zhì)設(shè)X,Y和Xi(i=1,2,…n)是隨機(jī)

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