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《概率論與數理統(tǒng)計第4章隨機變量的數字特征》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關內容在教育資源-天天文庫。
1、第4章隨機變量的數字特征4.1隨機變量的數學期望4.2方差4.3協(xié)方差及相關系數、矩第四章隨機變量的數字特征隨機變量的概率分布能夠完整地描述隨機變量的概率性質.但是這還不足以給人留下直觀的總體印象.有時不需要去全面考察隨機變量的整體變化情況，只需知道隨機變量的某些統(tǒng)計特征就可以了．例如，在檢查一批棉花的質量時，只需要注意纖維的平均長度，以及纖維長度與平均長度的偏離程度．再如，在評定一批燈泡的質量時，主要看這批燈泡的平均壽命和燈泡壽命相對于平均壽命的偏差．從這兩個例子可以看到，某些與隨機變量有關的數字，雖然不能完整地描述隨機變量，但卻可
2、以概括描述它在某些方面的特征．這些能代表隨機變量主要特征的數字，稱為隨機變量的數字特征．本章介紹隨機變量的幾個常用數字特征：數學期望、方差、協(xié)方差和相關系數．第四章隨機變量的數字特征【分賭本問題】1654年法國有個職業(yè)賭徒DeMéré向數學家Pascal提出了一個使他苦惱了很久的問題：甲乙兩人各出賭注50法郎進行賭博，約定誰先贏3局，就贏得全部的100法郎，假定兩人賭技相當，且每局無平局．如果當甲贏了兩局，乙贏了一局時，因故要中止賭局，問如何分100法郎的賭注才算公平？第四章隨機變量的數字特征4.1隨機變量的數學期望4.1.1數學期望
3、的概念1.離散型隨機變量的數學期望【引例】某年級有100名學生，17歲的有20人，18歲的有30人，19歲的有50人，則該年級學生的平均年齡為事實上,平均年齡是以頻率為權重的加權平均值．4.1.1數學期望的概念【例4.1】（擲骰子游戲）規(guī)定擲出1點得1分；擲出2點或3點得2分；擲出4點、或5點、或6點得4分,共擲n次.投擲一次所得的分數X是一個隨機變量.則X的分布律為試問：預期平均投擲一次能得多少分？解：若在n次投擲中，得1分的共n1次，得2分的共n2次，得4分的共n3次,則平均投擲一次得分為：X124pi1/62/63/6隨機變量X
4、的以概率為權重的加權平均值4.1.1數學期望的概念對于一般的離散型隨機變量，有如下定義：定義4.1設離散型隨機變量X的分布律為P{X=xi}=pi，i=1，2，…．若級數絕對收斂，則其稱為隨機變量X的數學期望或均值．記為E(X)或EX，即若級數發(fā)散，則稱隨機變量X的數學期望不存在．4.1.1數學期望的概念說明：(1)隨機變量X的數學期望E(X)是一個常量，它是從概率的角度來計算隨機變量X所有可能取值的平均值，具有重要的統(tǒng)計意義．(2)級數的絕對收斂性保證了級數的和不隨級數各項次序的改變而改變．4.1.1數學期望的概念【例4.2】某一彩
5、票中心發(fā)行彩票10萬張，每張2元．設頭等獎1個，獎金1萬元，二等獎2個，獎金各5千元；三等獎10個，獎金各1千元；四等獎100個，獎金各100元；五等獎1000個，獎金各10元．每張彩票的成本費為0.3元，請計算彩票發(fā)行單位的創(chuàng)收利潤．解：設每張彩票中獎的數額為隨機變量X，則有其中p0=1–(1/105+2/105+10/105+100/105+1000/105)?0.98887X1000050001000100100pi1/1052/10510/105100/1051000/105p04.1.1數學期望的概念每張彩票平均能得到的獎金
6、為:每張彩票平均可賺：2–0.5–0.3=1.2(元)，彩票發(fā)行單位發(fā)行10萬張彩票的創(chuàng)收利潤為:100000?1.2=120000(元)．4.1.1數學期望的概念【例4.3】設隨機變量X服從二項分布B(n，p)，求它的數學期望．解：由于,k=0,1,2,…,n．因而4.1.1數學期望的概念【例4.4】設隨機變量X服從參數為?（?>0）的泊松分布，求它的數學期望．解：由于，k=0，1，2，…，因而4.1.1數學期望的概念2.連續(xù)型隨機變量的數學期望定義4.2設連續(xù)型隨機變量X的概率密度為f(x)，若積分絕對收斂，則稱其為X的數學期望或
7、均值．記為E(X)或EX，即若積分不收斂,則稱X的數學期望不存在.4.1.1數學期望的概念著名的柯西分布是數學期望不存在的經典例子：設隨機變量X服從柯西分布，其概率密度為由于積分發(fā)散，因而E(X)不存在．4.1.1數學期望的概念【例4.5】某種化合物的pH值X是一個隨機變量，它的概率密度是求pH值X的數學期望E(X).解：4.1.1數學期望的概念幾個常用連續(xù)型隨機變量的數學期望都是存在的，下面來計算它們的數學期望．【例4.6】設隨機變量X服從(a，b)上的均勻分布，求E(X)．解：由于均勻分布的概率密度為4.1.1數學期望的概念【例4
8、.7】設隨機變量X服從參數為?（?>0）的指數分布，求E(X)．解：由于指數分布的概率密度為因而4.1.2隨機變量函數的數學期望在實際中,我們常需求隨機變量函數的數學期望.如果我們知道X的概率分布，如何計算X的某個函數Y
