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《概率論習題答案隨機變量的數(shù)字特征.docx》由會員上傳分享,免費在線閱讀,更多相關內容在教育資源-天天文庫。
1、第3章隨機變量的數(shù)字特征1,在下列句子中隨機地取一單詞,以X表示取到的單詞所包含的字母個數(shù),試寫出X的分布律并求E(X).“TheyfoundPekinggreatlychanged”解:根據(jù)題意,有1/5的可能性取到5個單詞中的任意一個。它們的字母數(shù)分別為4,5,6,7,7。所以分布律為X4567pk1/51/51/52/5E(X)1(45677)29/5.52,在上述句子的29個字母中隨機地取一個字母,以Y表示取到的字母所在的單詞所包含的字母數(shù),寫出Y的分布律并求E(Y)。解:5個單詞字母數(shù)還是4,5,6,7,7。這時,字母數(shù)更多的單
2、詞更有可能被取到。分布律為Ypk45674/295/296/2914/29E(Y)1(445566714)175/29.293,在一批12臺電視機中有2臺是次品,若在其中隨即地取3臺,求取到的電視機中包含的次品數(shù)的數(shù)學期望。解:根據(jù)古典概率公式,取到的電視機中包含的次品數(shù)分別為0,1,2臺的概率分別為p0C1036,p1C21C1029,p2C22C1011。C12311C12322C12322所以取到的電視機中包含的次品數(shù)的數(shù)學期望為E6091121(臺)。11222224,拋一顆骰子,若得6點則可拋第二次,此時得分為6+(第二次所拋
3、的點數(shù)),否則得分就是第一次所拋的點數(shù),不能再拋。求所得分數(shù)的分布律,并求得分的數(shù)學期望。解:根據(jù)題意,有1/6的概率得分超過6,而且得分為7的概率為兩個1/6的乘積(第一次6點,第2次1點),其余類似;有5/6的概率得分小于6。分布律為Y12345789101112pk1111111111166666363636363636得分的數(shù)學期望為E1(12345)1(789101112)49(點)。636125,(1)已知X~(),P{X5}P{X6},求E(X)。(2)設隨機變量X的分布律為P{Xk}6,k1,2,3,4,,22k問X的數(shù)學
4、期望是否存在?解:(1)根據(jù)X~5e6e6},因此(),可得P{X5}P{X5!6!計算得到6,即X~(6)。所以E(X)=6。(2)根據(jù)題意,按照數(shù)學期望的公式可得E(X)(1)k1kP{Xk}(1)k1k66(1)k116ln2,2k22k2k1k1k1因此期望存在。(利用了ln(1x)(1)nxn,1x1(不符書上答案)n1)n06,(1)某城市一天水的消費量X(百萬升計)是一個隨機變量,其概率密度為f(x)xex/3/9,x0,求一天的平均耗水量。0,其他(2)設某動物的壽命X(以年計)是一個隨機變量,其分布函數(shù)為F(x)0,25
5、,x51x5x2求這種動物的平均壽命。解:(1)一天的平均耗水量為E(X)xf(x)dxx2ex/3dxx2d(ex/3)02xex/3dx2xd(ex/3)090303002ex/3dx6(百萬升)。0(2)這種動物的平均壽命為E(X)xdF(x)xd(125)50dx10(年)。5x25x27,在美國,致命的汽車事故所占的比例X的概率密度為42x(1x)5,0x1f(x)其他,0,求X的數(shù)學期望。11解:E(X)xf(x)dx42x2(1x)5dx7x2d(1x)600x)61112x(1x)7117x2(114x(1x)6dx2xd
6、(1x)72(1x)7dx00000=1/4。8,設隨機變量X具有概率密度如下,求E(X)。f(x)2(11/x2),1x20,其他。22解:()()2(11/2)(22ln2ln2xxdxx)3。EXxfxdxx119,設隨機變量X具有概率密度如下,求E(X)。3(1x)2/2,1x0f(x)3(1x)2/2,0x10,其他解:E(X)xf(x)dx03x(1x)2dx13x(1x)2dx120203x(1x)2dx13x(1x)2dx0。1202(對第一個積分進行變量代換xy)10,設X~B(4,p),求數(shù)學期望E(sinX).2X解
7、:E(sin)4k0sinkC4kpk(1p)4k2C41p1(1p)3C43p3(1p)14p(1p)(12p2p2)。(不符書上答案)11,設球的直徑R服從區(qū)間(0,a)上的均勻分布,求球體積VR3/6的數(shù)學期望。解:R的概率密度函數(shù)為1/a,0xa,所以f(x)其他0,ar31dra3E(V)。06a240.3e0.3x,x012,設隨機變量X的概率密度為f(x)0,其他,另有X的函0,X0數(shù)g(X)X2,0X4,求數(shù)學期望E[g(X)]。16,X44解:E[g(X)]g(x)f(x)dxx20.3e0.3xdx160.3e0
8、.3xdx041(200584e1.2)(不符書上答案)913,設隨機變量X1,X2,,Xn相互獨立,且都服從區(qū)間(0,1)上的均勻分布,記Y1min(X1,X2,,Xn),Ynmax(X1,