隨機(jī)變量的數(shù)字特征概率論.ppt

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1、第四章隨機(jī)變量的數(shù)字特征數(shù)學(xué)期望方差*協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)大數(shù)定律與中心極限定理數(shù)學(xué)期望的引例MathematicalExpectation例如：某7人的高數(shù)成績?yōu)?0，85，85，80，80，75，60，則他們的平均成績?yōu)橐灶l率為權(quán)重的加權(quán)平均數(shù)學(xué)期望E(X)MathematicalExpectation定義設(shè)離散型隨機(jī)變量的概率分布為離散型隨機(jī)變量隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望，記作E（X），即XP41/451/261/4數(shù)學(xué)期望的計(jì)算已知隨機(jī)變量X的分布律：例求數(shù)學(xué)期望E（X）解連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望E(X)連續(xù)型隨機(jī)變量定義設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率密度為f(x),則即數(shù)學(xué)期

2、望的計(jì)算已知隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為例求數(shù)學(xué)期望。解數(shù)學(xué)期望的意義試驗(yàn)次數(shù)較大時，X的觀測值的算術(shù)平均值在E(X)附近擺動數(shù)學(xué)期望又可以稱為期望值(ExpectedValue)，均值(Mean)E(X)反映了隨機(jī)變量X取值的“概率平均”,是X的可能值以其相應(yīng)概率的加權(quán)平均。二維隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望及邊緣分布的數(shù)學(xué)期望(X,Y)為二維離散型隨機(jī)變量(X,Y)為二維連續(xù)型隨機(jī)變量設(shè)(X,Y)的聯(lián)合密度為例(1)求k(2)求X和Y的邊緣密度(3)求E(X),E(Y).(1)由解所以所以得113時(2)（３）時113113（３）另解無需求邊緣分布密度函數(shù)隨機(jī)變量的函數(shù)的數(shù)學(xué)期望定理

3、1：一維情形設(shè)是隨機(jī)變量X的函數(shù),離散型連續(xù)型概率密度為服從已知上的均勻分布，求的數(shù)學(xué)期望。因?yàn)樗岳怆S機(jī)變量的函數(shù)的數(shù)學(xué)期望定理2：二維情形聯(lián)合概率密度為設(shè)是隨機(jī)變量X，Y的函數(shù),連續(xù)型離散型15例設(shè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量X，Y的密度函數(shù)分別為求E（XY）解數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)相互獨(dú)立時當(dāng)隨機(jī)變量.C為常數(shù)..設(shè)（X,Y）在由4個點(diǎn)（0，0）（3，0），（3，2),(0,2)決定的矩形域內(nèi)服從均勻分布，求E(X+Y),E(X2)E(Y2),E(XY).302練一練答案：0-1分布的數(shù)學(xué)期望X服從0-1分布，其概率分布為P(X=1)=pP(X=0)=1-pXP011-pp若X服

4、從參數(shù)為p的0-1分布，則E(X)=p分布律數(shù)學(xué)期望IfX~B(n,p),thenE(X)=np二項(xiàng)分布的數(shù)學(xué)期望分布律X服從二項(xiàng)分布，其概率分布為數(shù)學(xué)期望二項(xiàng)分布可表示為個０－１分布的和其中則泊松分布的數(shù)學(xué)期望If,then分布律數(shù)學(xué)期望均勻分布的期望分布密度數(shù)學(xué)期望X~N(μ，σ2）正態(tài)分布的期望分布密度數(shù)學(xué)期望指數(shù)分布的期望分布密度數(shù)學(xué)期望數(shù)學(xué)期望在醫(yī)學(xué)上的一個應(yīng)用AnapplicationofExpectedValueinMedicine考慮用驗(yàn)血的方法在人群中普查某種疾病。集體做法是每10個人一組，把這10個人的血液樣本混合起來進(jìn)行化驗(yàn)。如果結(jié)果為陰性，則10

5、個人只需化驗(yàn)1次；若結(jié)果為陽性，則需對10個人在逐個化驗(yàn)，總計(jì)化驗(yàn)11次。假定人群中這種病的患病率是10%，且每人患病與否是相互獨(dú)立的。試問：這種分組化驗(yàn)的方法與通常的逐一化驗(yàn)方法相比，是否能減少化驗(yàn)次數(shù)？分析：設(shè)隨機(jī)抽取的10人組所需的化驗(yàn)次數(shù)為X我們需要計(jì)算X的數(shù)學(xué)期望，然后與10比較化驗(yàn)次數(shù)X的可能取值為1，11先求出化驗(yàn)次數(shù)X的分布律。(X=1)=“10人都是陰性”（X=11)=“至少1人陽性”結(jié)論：分組化驗(yàn)法的次數(shù)少于逐一化驗(yàn)法的次數(shù)注意求X期望值的步驟！1、概率p對是否分組的影響問題的進(jìn)一步討論若p=0.2，則當(dāng)p>0.2057時，E(X)>102、概率p對

6、每組人數(shù)n的影響當(dāng)p=0.2時，可得出n<10.32，才能保證EX<10.當(dāng)p=0.1時，為使例獨(dú)立地操作兩臺儀器，他們發(fā)生故障的概率分別為p1和p2.證明：產(chǎn)生故障的儀器數(shù)目的數(shù)學(xué)期望為p1+p2設(shè)產(chǎn)生故障的儀器數(shù)目為X則X的所有可能取值為0，1解所以