《橢圓中的弦長(zhǎng)問(wèn)題》進(jìn)階練習(xí)(一)

《橢圓中的弦長(zhǎng)問(wèn)題》進(jìn)階練習(xí)(一)

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1、《橢圓中的弦長(zhǎng)問(wèn)題》進(jìn)階練習(xí)一、選擇題1.如果橢圓的弦被點(diǎn)(4,2)平分,則這條弦所在的直線方程是()A.?B.?C.?D.2.設(shè)拋物線y2=4x的焦點(diǎn)為F,過(guò)點(diǎn)F的直線與拋物線交于A,B兩點(diǎn),過(guò)AB的中點(diǎn)M作準(zhǔn)線的垂線與拋物線交于點(diǎn)P,若,則弦長(zhǎng)

2、AB

3、等于(  )A.2??????B.4??????C.6??????D.83.設(shè)直線x+y=1與拋物線y2=2px(p>0)交于A,B兩點(diǎn),若OA⊥OB,則△OAB的面積為( ?。〢.1??????B.??????C.??????D.2二、填空題4.橢圓x2+4y2=4長(zhǎng)軸上一個(gè)頂點(diǎn)為A,以A為直角頂

4、點(diǎn)作一個(gè)內(nèi)接于橢圓的等腰直角三角形,該三角形的面積是______.5.已知P為橢圓C:上的任意一點(diǎn),F(xiàn)為橢圓C的右焦點(diǎn),M的坐標(biāo)為(1,3),則

5、PM

6、+

7、PF

8、的最小值為_(kāi)_____.參考答案1.D????2.C????3.B????4.5.5.1.本題主要考查的是直線與橢圓的應(yīng)用,熟悉點(diǎn)差法是解答本題的關(guān)鍵,是高考中常見(jiàn)的題型,屬于中檔題.解:設(shè)弦為AB,得:即所以這條弦所在的直線方程是故選D.2.試題分析:求出拋物線焦點(diǎn)為F(1,0),準(zhǔn)線為l:x=-1.設(shè)A(x1,y1)、B(x2,y2),直線AB的方程為y=k(x-1),由AB方程與拋物線

9、方程消去y得關(guān)于x的一元二次方程,利用根與系數(shù)的關(guān)系算出:x1+x2=,x1x2=1,由此算出P的坐標(biāo)為M(,),根據(jù)利用點(diǎn)到兩點(diǎn)間的距離公式解出k2=2,從而算出x1+x2=4,最后根據(jù)拋物線的定義可得弦長(zhǎng)

10、AB

11、的值.∵拋物線方程為y2=4x,∴2p=4,p=2,可得拋物線的焦點(diǎn)為F(1,0),準(zhǔn)線為l:x=-1,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),直線AB的方程為y=k(x-1),由消去y,得k2x2-(2k2+4)x+k2=0,∴x1+x2=,x1x2=1,∵過(guò)AB的中點(diǎn)M作準(zhǔn)線的垂線與拋物線交于點(diǎn)P,∴設(shè)P的坐標(biāo)為(x0,y0),可得y0

12、=(y1+y2),∵y1=k(x1-1),y2=k(x2-1),∴y1+y2=k(x1+x2)-2k=k?-2k=,得到y(tǒng)0==,所以x0==,可得M(,).∵,∴=,解之得k2=2,因此x1+x2==4,根據(jù)拋物線的定義可得

13、AB

14、=x1+x2+p=4+2=6.故選:C3.解:設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),由x+y=1與拋物線y2=2px,得y2+2py-2p=0,解得y1=-p+,x1=1+p-,y2=-p-,x2=1+p+,由OA⊥OB得,x1x2+y1y2=0,即[(1+p)2-(p2+2p)]+[p2-(p2+2p)]=0,化簡(jiǎn)得2

15、p=1,即p=,從而A(,),B(,),

16、OA

17、2=x12+y12=5-2,

18、OB

19、2=x22+y22=5+2,△OAB的面積S=

20、OA

21、?

22、OB

23、==.故選B.聯(lián)立直線和拋物線方程,化為關(guān)于y的一元二次方程后運(yùn)用求根公式,求得A,B的坐標(biāo),由OA⊥OB,可得x1x2+y1y2=0,求得p,由兩點(diǎn)的距離公式可得OA,OB的長(zhǎng),利用三角形的面積公式計(jì)算即可得到.本題考查直線和拋物線的位置關(guān)系,考查直線方程和拋物線方程聯(lián)立,求得交點(diǎn),運(yùn)用兩點(diǎn)的距離公式,考查運(yùn)算能力,屬于中檔題.4.解:A是直角頂點(diǎn)所以直角邊斜率是1和-1設(shè)A是(-2,0)所以一條是y=

24、x+2代入橢圓5x2+16x+12=0(5x+6)(x+2)=0x=-,x=-2(排除)x=-,y=x+2=所以和橢圓交點(diǎn)是C(-,)則AC2=(-2+)2+(0-)2=所以面積=AC2=故答案為根據(jù)A是直角頂點(diǎn)推斷直角邊斜率是1和-1.設(shè)A是(-2,0)則可得一直角邊方程與橢圓方程聯(lián)立消去y求得交點(diǎn)的橫坐標(biāo),進(jìn)而根據(jù)直線方程求得橫坐標(biāo),進(jìn)而可求得一直角邊的長(zhǎng),最后根據(jù)面積公式可得三角形的面積.本題主要考查了橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì).本題是研究橢圓和解三角形問(wèn)題的綜合題.對(duì)學(xué)生對(duì)問(wèn)題的綜合分析的能力要求很高.5.解:設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為:F1根據(jù)橢圓的第一定義

25、P

26、M

27、+

28、PF

29、=

30、PM

31、+2a-

32、PF1

33、=2a-(

34、PF1

35、-

36、PM

37、),∴

38、PM

39、+

40、PF

41、取得最小值時(shí),即

42、PF1

43、-

44、PM

45、最大,如圖所示:

46、PF1

47、-

48、PM

49、≤

50、MF1

51、=5,當(dāng)P,M,F(xiàn)1共線且P在MF1的延長(zhǎng)線上時(shí),取得這個(gè)最大值.∴

52、PA

53、+

54、PF1

55、的最小值為:10-5=5.故答案為:5.先作出圖形來(lái),再根據(jù)橢圓的定義得出

56、PM

57、+

58、PF

59、=2a-(

60、PF1

61、-

62、PM

63、),將

64、PM

65、+

66、PF

67、的最小值轉(zhuǎn)化為求

68、PF1

69、-

70、PM

71、的最大值,最后找到取得最值的狀態(tài)求解.本題主要考查了橢圓的應(yīng)用,考查學(xué)生的作圖能力和應(yīng)用橢圓的定義來(lái)求最值

72、的能力.解答本題的關(guān)鍵是將

73、PM

74、+

75、PF

76、的最小值轉(zhuǎn)化成求

77、PF1

78、-

79、PM

80、最大,從而結(jié)合平面幾何的性質(zhì)

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