高數(shù)考研輔導課件方法上.ppt

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1、第二講研究函數(shù)與極限的基本方法1函數(shù)研究的對象極限研究的工具連續(xù)研究的橋梁微積分學的基礎(chǔ)(英1642-1727)(德1646-1716)(法1789-1857)21-1函數(shù)和連續(xù)的概念、性質(zhì)和應(yīng)用一.方法指導1.對函數(shù)的理解和討論(1)定義定義域?qū)?yīng)規(guī)律值域基本要素定義域使表達式及實際問題有意義的自變量取值集合.對應(yīng)規(guī)律表示方式:圖象法;表格法.解析法;值域3(2)基本特性有界性,單調(diào)性,奇偶性,周期性.(3)基本結(jié)構(gòu)基本初等函數(shù)復合運算反演運算初等函數(shù)非初等函數(shù)分段函數(shù)級數(shù)表示的函數(shù)…………四則運算有限次運算且用一個式子表示(4)常用的等式與不

2、等式44、等比數(shù)列的前n項和的公式設(shè)等比數(shù)列前n項的和為Sn,即根據(jù)等比數(shù)列的通項公式，上式可以寫成：上式兩邊同時乘以q有：上（1）式兩邊分別減去（2）式的兩邊得：當時特別52.函數(shù)的連續(xù)與間斷(1)連續(xù)性的等價形式在連續(xù)當時6(2)閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)有界定理;最值定理;介值定理;零點定理(3)函數(shù)的間斷點第一類間斷點可去間斷點:跳躍間斷點:第二類間斷點無窮間斷點振蕩間斷點二.實例分析7例1.設(shè)其中滿足判斷的奇偶性.解:令則故為奇函數(shù).又令y=0,得故而故為奇函數(shù).因此為偶函數(shù).8例2.求常數(shù)k及函數(shù)g(x),使函數(shù)為連續(xù)的奇函數(shù)。解:連續(xù)的

3、奇函數(shù)有f(0)=0,即而所以9例3.設(shè)求解:當時;當時,10例4.設(shè)證明但證:在(0,1)中取點列在(0,1]上無界,則有顯然,在(0,1]上無界.但,若取點列則而故(P8.例4)11的間斷點,并x=–1為第一類可去間斷點x=1為第二類無窮間斷點x=0為第一類跳躍間斷點例5.求函數(shù)判別間斷點的類型.解:所以f(x)有間斷點12例6.設(shè)函數(shù)(2008考研)解:只有兩個間斷點則有（）；1個可去間斷點，1個跳躍間斷點；1個可去間斷點，1個無窮間斷點；2個跳躍間斷點；2個無窮間斷點。為可去間斷點；為跳躍間斷點。13例7.函數(shù)個數(shù)為（）解故是可去間斷點。

4、（2013考研）的可去間斷點的14例8.討論下述函數(shù)的連續(xù)與間斷問題(P8.例5(1))解:顯然,在區(qū)域上連續(xù).因故x=1為第二類無窮間斷點.151-2求極限的方法(P13第二節(jié))一.方法指導1.求極限的基本方法(P16-P19)(1)已知極限值利用極限定義驗證(用“?-N”或“?-?”語言)(2)未知極限值先判別極限存在后再求極限根據(jù)法則演算,判定與計算同時進行.16求極限的基本方法1）用驗證極限的定義。8)用極限運算法則與函數(shù)的連續(xù)性求極限。2）用消去不定型法求極限。3）用有界函數(shù)與無窮小乘積仍為無窮小的結(jié)論求極限。5）用等價無窮小的替代定理

5、求極限。6）用變量代換求極限。4）用兩個重要極限公式求極限。7）用左、右極限存在且相等的方法求極限。9）用函數(shù)極限和數(shù)列極限的關(guān)系求極限。10）利用極限存在準則求極限。1712）用導數(shù)的定義或定積分定義求極限。13）利用微分中值定理求極限。14）利用泰勒公式求極限。16）用無窮級數(shù)的有關(guān)知識求極限。11）用洛必達法則求極限。15）用積分中值定理求極限。17）其他。182.求未定式的極限的方法通分轉(zhuǎn)化取倒數(shù)轉(zhuǎn)化取對數(shù)轉(zhuǎn)化3.求極限的基本技巧(1)定式部分應(yīng)盡早求出;各種方法注意綜合使用.(2)注意利用已知極限的結(jié)果.例如,當時時速度一個比一個快.1

6、9(3)善于利用等價無窮小替換利用麥克勞林公式找等價無窮小當時替換定理（整個分子、整個分母或分子分母乘積的因子）20～～～～～～～當x→0時,有下列常用等價無窮小:(P16)一般形式，如：～～～21泰勒公式22設(shè)對同一變化過程,?,?為無窮小,說明:無窮小的性質(zhì),(1)和差取大規(guī)則:由等價可得簡化某些極限運算的下述規(guī)則.若?=o(?),例如,證明練習、求23例如,(2)和差代替規(guī)則:24(3)因式代替規(guī)則:界,則例如,?例4.求解:原式25如,利用導數(shù)定義,微分中值定理,泰勒公式等求極限.3.判斷極限不存在的主要方法(1)對分段函數(shù),在界點處討論

7、左右極限;(2)利用數(shù)列極限與函數(shù)極限的關(guān)系;(3)利用反證法,設(shè)極限存在推出矛盾.(4)注意用求極限的特殊方法26例1.求解:原式二.實例分析27例2.求型解:令有例3.求型解:不能直接用洛必達法則!令則原式說明:有許多極限問題可通過變量代換使其簡化.再如,P27例728例4.求（洛必達法則或泰勒公式）2008考研29例5.設(shè)解:利用前一極限式可令再利用后一極限式,得可見是多項式,且求故30例6.求解:原式=1.31例7.求函數(shù)解:當時的等價無窮小.32例8時與小，求C.解是等價無窮則33例4(2014考研4)當時，若均是比x高階的無窮小，則的

8、取值范圍是（）；所以解34練習已知，(1)求的值，(2)當時，是求常數(shù)解由題意(1)；的同階無窮小,的值。2012考研35(2)因為，則