玻利亞的《怎樣解題》精華

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1、玻利亞的《怎樣解題》精華玻利亞的《怎樣解題》曾經(jīng)掀起歐美數(shù)學(xué)界的震動(dòng)。他是一位基礎(chǔ)的數(shù)學(xué)家和教育家，作為數(shù)學(xué)家，他在數(shù)學(xué)的各個(gè)分支中，都有璀璨的成就。歐美的數(shù)學(xué)家曾經(jīng)呼吁，學(xué)數(shù)學(xué)的人，要讀讀伯利亞，不學(xué)數(shù)學(xué)的人，也要讀讀伯利亞。數(shù)學(xué)老師要讀讀伯利亞，初中生高中生大學(xué)生要讀，數(shù)學(xué)家也要讀讀伯利亞。他寫的怎樣解題，介紹了在數(shù)學(xué)中的普遍規(guī)律，幾乎全部是文字?jǐn)⑹?。為了方便大家更快的閱讀，節(jié)省時(shí)間，我整理了一下，這樣，您在10分鐘之內(nèi)，就可以讀完。有些地方，值得仿佛閱讀，牢記解題是對(duì)過去的回憶讓目標(biāo)調(diào)動(dòng)你的記憶力。我能做什么?觀察揣摩整個(gè)問題，盡量使其清晰而鮮明。暫時(shí)先拋開細(xì)節(jié)。這樣做，我能

2、得到什么好處?你會(huì)明白問題，使自己熟悉問題，并把問題的目標(biāo)牢記在腦海中。這樣全神貫注地對(duì)待問題也會(huì)調(diào)動(dòng)起你的記憶力，即便非常遲鈍和平凡、并且以前沒有能力推任何事物的學(xué)生，最后也會(huì)被迫對(duì)解題的思路至少作出微小的貢獻(xiàn)。我應(yīng)該從哪兒開始?從問題的敘述開始。我能做什么?觀察揣摩整個(gè)問題，盡量使其清晰而鮮明。暫時(shí)先拋開細(xì)節(jié)。這樣做，我能得到什么好處?你會(huì)明白問題，使自己熟悉問題，并把問題的目標(biāo)牢記在腦海中。這樣全神貫注地對(duì)待問題也會(huì)調(diào)動(dòng)起你的記憶力，做好準(zhǔn)備去重新聯(lián)想與問題有關(guān)的各點(diǎn)。力圖利用已知結(jié)果和回到定義去，是引入輔助元素的一些最好的理由；但它們不是僅有的理由。為了使問題的概念更完整，

3、更富于啟發(fā)性，更為人所熟悉，我們可以引入輔助元素，雖然目前我們幾乎不知道我們?cè)鯓硬拍芾眠@些所添加的元素。我們可能僅僅感覺到加上這樣那樣的元素用那種方式看問題是個(gè)"好念頭"。探尋你解題步驟目的和動(dòng)機(jī)如果一條微妙的輔助線在圖中出現(xiàn)得很突然看不出任何動(dòng)機(jī)，并且令人驚訝地解決了問題，那末聰明的讀者和學(xué)生將會(huì)失望，他們感到上當(dāng)受騙。因?yàn)橹挥性谖覀兊恼撟C及發(fā)明會(huì)創(chuàng)造的能力中充分發(fā)揮了數(shù)學(xué)的作用后，數(shù)學(xué)才是有趣味的。如果最引人注目的步驟的動(dòng)機(jī)和目的不可理解，那么我們?cè)谡撟C和發(fā)明創(chuàng)造方面就學(xué)不到什么東西。為使這樣的步驟可以理解，需要加以適當(dāng)?shù)恼f明(如前面(3)中所做的那樣)，或者精選問題和建議(

4、象第lO、18、*9、20節(jié)中所做的那樣)，這需要大量的時(shí)間和精力，但卻是值得一做的。人和飛蟲的區(qū)別一只飛蟲企圖穿過窗戶玻璃逃出去，它在同一扇窗戶上試了又試，而不去試試附近打開的窗戶，而那扇窗戶就是它進(jìn)來的那扇。人能夠或者至少能夠行動(dòng)得更聰明些。人的高明之處就在于當(dāng)他碰到一個(gè)不能直接克服的障礙時(shí)，他會(huì)繞過去；當(dāng)原來的問題看起來似乎不好解時(shí)，就想出一個(gè)合適的輔助問題。構(gòu)想一個(gè)輔助問題是一項(xiàng)重要的思維活動(dòng)。舉出一個(gè)有助于另一問題的清晰的新問題，能夠清楚地把到另一目標(biāo)的手段設(shè)想成一個(gè)新目標(biāo)，這都是運(yùn)用智慧的卓越成就。學(xué)會(huì)(或教會(huì))怎樣聰明地處理輔助問題是一項(xiàng)重大任務(wù)。但是，我將煞費(fèi)苦心地

5、用清晰的詞句來說明所有有才能的人所遵循的研究規(guī)則與方法。人們可能認(rèn)為，這種現(xiàn)象對(duì)于處理某個(gè)高級(jí)問題的有經(jīng)驗(yàn)的數(shù)學(xué)家要比那些解決某個(gè)初等問題的初學(xué)者更有可能發(fā)生。可是，具有大量數(shù)學(xué)知識(shí)的數(shù)學(xué)家比初學(xué)者更容易冒濫用知識(shí)而使論證不必要地復(fù)雜起來的危險(xiǎn)。但作為補(bǔ)償?shù)氖?，有?jīng)驗(yàn)的數(shù)學(xué)家比初學(xué)者更能重視結(jié)果中細(xì)微部分的重新解釋，并且把它們積聚起來，最終重新寫出整個(gè)結(jié)果。解題本質(zhì)，跨越鴻溝在我們面前有個(gè)未解決的問題，一個(gè)隨便用什么方法處理的問題。我們必須找出已知與未知間的聯(lián)系。我們可以把我們待解的問題表示成已知與未知之間的廣闊空間，當(dāng)作已知與未知之間的一道鴻溝，在其上需要架橋。我們架橋可以從任何

6、一邊(從未知或者從已知)開始。一個(gè)高水平的學(xué)生對(duì)此也可能一籌莫展。當(dāng)然，有各種辦法可試，但幫助學(xué)生精神重新振作起來的最好問題是：你能從已知事項(xiàng)導(dǎo)出什么有用的東西如果你鉆到細(xì)節(jié)中去，你可能會(huì)在細(xì)節(jié)中迷途。過多或過細(xì)的具體情節(jié)是腦力的一種負(fù)擔(dān)。它們?nèi)缫蝗~障目會(huì)阻礙你充分注意主要之點(diǎn)，甚至使你完全看不到主要之點(diǎn)，只見樹木而不見森林。我們當(dāng)然不希望為不必要的細(xì)節(jié)去浪費(fèi)我們的時(shí)間，我們應(yīng)該把我們的精力用到主要內(nèi)容上。困難就在于我們事先說不出哪些細(xì)節(jié)最后會(huì)變成主要的，而哪些又不會(huì)。數(shù)學(xué)的解題是一種組合當(dāng)然，重新組合的可能性是無限的。困難的問題需要有一種神奇的、不尋常的、嶄新的組合。而解題者的才

7、能就在于組合的獨(dú)創(chuàng)性。但也存在著某些普通的、相對(duì)簡(jiǎn)單的組合，它們對(duì)于較簡(jiǎn)單的問題而言已經(jīng)夠用。對(duì)于這樣的組合我們應(yīng)當(dāng)徹底加以了解并且首先試用，即使我們最后不得不求助于不太顯而易見的方法。消去花哨讓人犯怵的數(shù)學(xué)專業(yè)術(shù)語，回到定義上，看到客觀事實(shí)的真正聯(lián)系。（你看到WC你應(yīng)該像想到廁所，然后，是排泄的地方，然后是具體馬桶小便池，于是，就把WC這個(gè)專業(yè)術(shù)語消去，讓花哨而讓人反感的術(shù)語，變成了現(xiàn)實(shí)的聯(lián)系，數(shù)學(xué)術(shù)語也是這樣。）數(shù)學(xué)中的專業(yè)術(shù)語有兩類。有些作為原始術(shù)語不加定義而被