資源描述：
《定積分的概念和性質(zhì)積分上限函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫。
1、第十講定積分的概念和性質(zhì)積分學(xué)不定積分定積分變上限積分函數(shù)一、定積分的概念二、定積分的性質(zhì)三、變上限積分函數(shù)1、定積分問題舉例1)曲邊梯形的面積設(shè)曲邊梯形是由連續(xù)曲線以及兩直線所圍成,求其面積A.機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束矩形面積梯形面積一、定積分的概念解決步驟:a)大化小.在區(qū)間[a,b]中任意插入n–1個(gè)分點(diǎn)用直線將曲邊梯形分成n個(gè)小曲邊梯形;b)常代變.在第i個(gè)窄曲邊梯形上任取作以為底,為高的小矩形,并以此小梯形面積近似代替相應(yīng)窄曲邊梯形面積得機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束c)近似和.d)取極限.令則曲邊梯形面積機(jī)動(dòng)
2、目錄上頁下頁返回結(jié)束2)變速直線運(yùn)動(dòng)的路程設(shè)某物體作直線運(yùn)動(dòng),且求在運(yùn)動(dòng)時(shí)間內(nèi)物體所經(jīng)過的路程s.解決步驟:a)大化小.將它分成在每個(gè)小段上物體經(jīng)b)常代變.得已知速度機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束n個(gè)小段過的路程為c)近似和.d)取極限.上述兩個(gè)問題的共性:解決問題的方法步驟相同:“大化小,常代變,近似和,取極限”所求量極限結(jié)構(gòu)式相同:特殊乘積和式的極限機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束2、定積分定義任一種分法任取總趨于確定的極限I,則稱此極限I為函數(shù)在區(qū)間上的定積分,即此時(shí)稱f(x)在[a,b]上可積.記作機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回
3、結(jié)束積分上限積分下限被積函數(shù)被積表達(dá)式積分變量積分和說明:定積分僅與被積函數(shù)及積分區(qū)間有關(guān),而與積分變量用什么字母表示無關(guān),即機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束3、定積分的幾何意義:曲邊梯形面積曲邊梯形面積的負(fù)值各部分面積的代數(shù)和（幾何意義）機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束定理1.定理2.且只有有限個(gè)間斷點(diǎn)4、可積的充分條件:(證明略)例1.利用定義計(jì)算定積分解:將[0,1]n等分,分點(diǎn)為取機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束注注目錄上頁下頁返回結(jié)束[注]利用得兩端分別相加,得即例2.用定積分表示下列極限:解:機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束說明:機(jī)動(dòng)
4、目錄上頁下頁返回結(jié)束根據(jù)定積分定義可得如下近似計(jì)算方法:將[a,b]分成n等份:(左矩形公式)(右矩形公式)(梯形公式)為了提高精度,還可建立更好的求積公式,例如辛普森機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束公式,復(fù)化求積公式等,并有現(xiàn)成的數(shù)學(xué)軟件可供調(diào)用.二、定積分的性質(zhì)(設(shè)所列定積分都存在)(k為常數(shù))機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束推論1.若在[a,b]上則6.若在[a,b]上則機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束推論2.7.設(shè)則8.積分中值定理則至少存在一點(diǎn)使性質(zhì)7目錄上頁下頁返回結(jié)束說明:可把積分中值定理對是有限個(gè)數(shù)的平均值概念的推廣.例3
5、.計(jì)算從0秒到T秒這段時(shí)間內(nèi)自由落體的平均速度.解:已知自由落體速度為故所求平均速度機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束思考與練習(xí)1.用定積分表示下述極限:解:或機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束三、積分上限的函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)在變速直線運(yùn)動(dòng)中,已知位置函數(shù)與速度函數(shù)之間有關(guān)系:物體在時(shí)間間隔內(nèi)經(jīng)過的路程為這種積分與原函數(shù)的關(guān)系在一定條件下具有普遍性.機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束1、引例2、積分上限函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)則變上限函數(shù)證:則有機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束定理1.若說明:1)定理1證明了連續(xù)函數(shù)的原函數(shù)是存在的.2)變限積分求導(dǎo):同時(shí)為通過原函數(shù)計(jì)
6、算定積分開辟了道路.機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束例4.求解:原式說明目錄上頁下頁返回結(jié)束例5.確定常數(shù)a,b,c的值,使解:原式=c≠0,故又由～,得例6.證明在內(nèi)為單調(diào)遞增函數(shù).證:只要證機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束
