正多面體與歐拉定理

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1、正多面體與歐拉定理定義：每個(gè)面都是有相同邊數(shù)的正多邊形，每個(gè)頂點(diǎn)為端點(diǎn)都有相同棱數(shù)的凸多面體，叫做正多面體正多面體：正多面體有且僅有五種：正四面體、正六面體、正八面體、正十二面體、正二十面體正多面體有且僅有五種：正四面體、正六面體、正八面體、正十二面體、正二十面體正多面體的展開(kāi)圖著名的數(shù)學(xué)家，瑞士人，大部分時(shí)間在俄國(guó)和法國(guó)度過(guò)．他17歲獲得碩士學(xué)位，早年在數(shù)學(xué)天才貝努里賞識(shí)下開(kāi)始學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，畢業(yè)后研究數(shù)學(xué)，是數(shù)學(xué)史上最高產(chǎn)的作家．在世發(fā)表論文700多篇，去世后還留下100多篇待發(fā)表．其論著幾乎涉及所有數(shù)學(xué)分支．他首先使用f(x)表示函數(shù)，首先用∑

2、表示連加，首先用i表示虛數(shù)單位．在立體幾何中多面體研究中，首先發(fā)現(xiàn)并證明歐拉公式．歐拉歐拉公式及其應(yīng)用討論問(wèn)題1：（1）數(shù)出下列四個(gè)多面體的頂點(diǎn)數(shù)V、面數(shù)F、棱數(shù)E并填表(1)（2）（3）圖形編號(hào)頂點(diǎn)數(shù)V面數(shù)F棱數(shù)E（1）（2）（3）（4）規(guī)律：V+F-E=246486126812201230(4)(6)問(wèn)題1：（2）數(shù)出下列多面體的頂點(diǎn)數(shù)V、面數(shù)F、棱數(shù)E并填表討論(5)5857812圖形編號(hào)頂點(diǎn)數(shù)V面數(shù)F棱數(shù)E（5）（6）121224（7）(7)多面體簡(jiǎn)單多面體表面經(jīng)過(guò)連續(xù)變形能變成一個(gè)球面的多面體V+F-E=2簡(jiǎn)單多面體歐拉公式歐拉示性數(shù)

3、問(wèn)題2：如何證明歐拉公式ABCDEA1B1C1D1E1ABCDEA1B1C1D1E1討論壓縮成平面圖形問(wèn)題2：如何證明歐拉公式ABCDEA1B1C1D1E1ABCDEA1B1C1D1E1討論壓縮成平面圖形1、（1）一個(gè)簡(jiǎn)單多面體的各面都是三角形，則它的頂點(diǎn)數(shù)V和面數(shù)F的關(guān)系為_(kāi)_________。歐拉公式的應(yīng)用(2)一個(gè)簡(jiǎn)單多面體的各個(gè)頂點(diǎn)都有三條棱，則頂點(diǎn)數(shù)V與面數(shù)F滿足的關(guān)系為_(kāi)________。歐拉公式的應(yīng)用2、簡(jiǎn)單多面體的每個(gè)面都是五邊形，且每個(gè)頂點(diǎn)的一端都有三條棱，求這個(gè)多面體的面數(shù)和棱數(shù)．4、一個(gè)凸多面體的棱數(shù)是30，面數(shù)為12，則

4、它的各面多邊形內(nèi)角的總和為_(kāi)_________。5、是否存在這樣的多面體，它有奇數(shù)個(gè)面，且每一個(gè)面都有奇數(shù)條邊歐拉公式的應(yīng)用3、1996年的諾貝爾化學(xué)獎(jiǎng)授予對(duì)發(fā)現(xiàn)C60有重大貢獻(xiàn)的三位科家．C60是有60個(gè)C原子組成的分子，它結(jié)構(gòu)為簡(jiǎn)單多面體形狀．這個(gè)多面體有60個(gè)頂點(diǎn)，從每個(gè)頂點(diǎn)都引出3條棱，各面的形狀分別為五邊形或六邊形兩種．計(jì)算C60分子中形狀為五邊形和六邊形的面各有多少？小結(jié)猜想證明應(yīng)用空間問(wèn)題平面化V+F-E=2歐拉公式（方法二）以四面體為例來(lái)說(shuō)明：將它的一個(gè)面去掉，并使其變?yōu)槠矫鎴D形，四面體的頂點(diǎn)數(shù)、棱數(shù)與剩下的面數(shù)變形后都沒(méi)

5、有變。因此，要研究、和的關(guān)系，只要去掉一個(gè)面，將它變形為平面圖形既可。對(duì)平面圖形，我們來(lái)研究：（1）去掉一條棱，就減少一個(gè)面例如去掉，就減少一個(gè)面，同理去掉棱、也就各減少一個(gè)面、因此，、的值都不變，因此的值也不變。（2）再?gòu)氖Ｏ碌臉?shù)枝形中，去掉一條棱，就減少一個(gè)頂點(diǎn)例如去掉，就減少一個(gè)頂點(diǎn)，同理，去掉就減少一個(gè)頂點(diǎn)，最后剩下在此過(guò)程中的值不變，但這時(shí)面數(shù)是0。所以的值也不變。最后只剩下，所以最后加上去掉的一個(gè)面，就得到例1.由歐拉定理證明：正多面體只有正四面體、正六面體、正八面體、正十二面體、正二十面體這五種證明：設(shè)正多面體的每個(gè)面的邊數(shù)為n，

6、每個(gè)頂點(diǎn)連有m條棱，令這個(gè)多面體的面數(shù)為F，每個(gè)面有n條邊，故共有nF條邊，由于每條邊都是兩個(gè)面的公共邊，故多面體棱數(shù)（2）令這個(gè)多面體有個(gè)V頂點(diǎn)，每一個(gè)頂點(diǎn)處有m條棱，故共有mV條棱,由于每條棱有兩個(gè)頂點(diǎn)，故多面體棱數(shù)（1）由（1）（2）得：，代入歐拉公式：∴即（3），∵又，，但m,n不能同時(shí)大于3，（若，，則有，即這是不可能的）∴m,n中至少有一個(gè)等于3．令，則∴，∴∴同樣若可得．