反例在中學(xué)教學(xué)課堂教學(xué)中的作用

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1、反例在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用舉例1.反例在中學(xué)代數(shù)教學(xué)中的應(yīng)用舉例1.1集合在集合的學(xué)習(xí)中,很多學(xué)生對于集合的基本定義理解的不透徹,以至于做題時出現(xiàn)不可避免的錯誤,對此,在集合的教學(xué)過程中,要恰當(dāng)運用反例,加深學(xué)生對集合定義及應(yīng)用的印象,使學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中達(dá)到更好的效果.把具有某種屬性的一些對象看作一個整體便形成了一個集合．集合里的各個對象叫做集合的元素[5].集合中的元素具有確定性的特征.即,設(shè)是一個給定的集合,是某一具體對象,則是的元素,或者不是的元素.集合中的元素具有互異性的特征.即,屬于一個集合的元素是互不相同的個體或?qū)ο?/p>

2、.因此,同一個集合中不應(yīng)重復(fù)出現(xiàn)同一個元素.例1不是集合的正確表示,因為其中出現(xiàn)了重復(fù)的元素2,應(yīng)把它寫成.用描述法表示集合的一般形式為,其中豎線前面的表示集合的元素的一般形式,豎線后面的表示元素具有的公共屬性.例2寫出不等式的解集,并進行化簡.錯解:不等式的解集為.以上結(jié)果是錯誤的.因為表示以不等式為元素的集合,而不能表示不等式的解集.正解是:不等式的解集為.上例說明,由于只寫出集合的元素的公共屬性,而未寫出集合的元素的一般形式,從而造成了將集合表述為型的錯誤.例3“任何集合都有真子集”的說法不成立.反例:空集沒有真子集.1.

3、2映射與函數(shù)在中學(xué)映射與函數(shù)的學(xué)習(xí)中,由于學(xué)生對基本知識理解不透徹,通常會出現(xiàn)或多或少的錯誤認(rèn)識,教師在教學(xué)中要靈活運用反例,向?qū)W生解答重難點,對于學(xué)生出現(xiàn)的錯誤,用反例可以運用逆向思維鍛煉學(xué)生的思考方式.設(shè)是兩個集合,如果按照某種對應(yīng)法則,對于集合中的任何一個元素,在集合中都有唯一的元素和它對應(yīng),這樣的對應(yīng)叫做從集合到集合的映射[5].例1設(shè),對應(yīng)法則:,若;,這里.不是一個集合到集合的映射.因為,這個固然替每一個不等于的都規(guī)定了一個唯一的對應(yīng)值,但不能決定是還是,也就是說,沒有替規(guī)定一個唯一的對應(yīng)值,這與定義不符.例2“如果

4、是的函數(shù),那么隨的變化而變化”是否正確?解:不正確.反例1:,當(dāng)取不同值時,有唯一確定的值與之對應(yīng),所以是的函數(shù),但不論取何值,的值始終不變.反例2:也是函數(shù),但不論取什么非負(fù)數(shù),的值始終不變.例3說出“單調(diào)函數(shù)的和仍是單調(diào)函數(shù)”這一命題是錯誤的反例[2].解:令當(dāng),且時,可見與都是區(qū)間上的單調(diào)函數(shù).但卻并非上的單調(diào)函數(shù).這一反例說明單調(diào)函數(shù)的和不一定是單調(diào)函數(shù).2反例在中學(xué)幾何教學(xué)中的應(yīng)用舉例在幾何教學(xué)中,教師必須科學(xué)恰當(dāng)?shù)囊敫拍?在教學(xué)中必須清晰地向?qū)W生講解概念,并在平時課堂練習(xí)、作業(yè)、考試中通過判斷題、選擇題等培養(yǎng)學(xué)生推

5、理能力與空間想象能力．在命題的判斷中，要舉出令某個命題不成立的相關(guān)例子,使學(xué)生存在的模糊概念得以糾正,從而形成清晰的認(rèn)知結(jié)構(gòu).反例教學(xué)可以用來幫助學(xué)生糾正平時的錯誤概念,培養(yǎng)學(xué)生思維的嚴(yán)謹(jǐn)性和批判性[6]．2.1數(shù)學(xué)反例對定義、定理或公式的強化理解在立體幾何概念的學(xué)習(xí)中,很多學(xué)生對定義、定理中的關(guān)鍵性詞句缺乏領(lǐng)會,不善于理解掌握概念的本質(zhì)屬性,以至于經(jīng)常出現(xiàn)理解上的混亂或應(yīng)用上的失誤.對此,教師在課堂教學(xué)中,不但要使用正面的例子對其進行闡述并加深印象,而且要善于借助反例靈活且具有說服力的否定來澄清學(xué)生的片面認(rèn)識,強化對概念的理解

6、,這樣往往能起到正面例子難以起到的作用[7].例如,常有學(xué)生認(rèn)為:“圓錐過兩條母線的截面中,以軸截面的面積為最大”為此,用以下反例就能深化學(xué)生對本條命題的認(rèn)識.如圖2所示,為圓錐的軸截面,是過母線所作的截面,從題設(shè)知隱含著下列數(shù)量關(guān)系:.由題知,,即.由,上式可化簡為,因此,當(dāng)時,上式必成立,當(dāng)時上式不一定成立.所以,有反例:當(dāng)時,時,就有:.2.2數(shù)學(xué)反例對錯誤命題的否定在平面解析幾何的學(xué)習(xí)中,我們對于一些命題的判定通常會考慮的不全面,對于這種情況教師在教學(xué)中可以通過舉一些反例來否定命題.通過運用反例的否定來幫助學(xué)生認(rèn)識到自己

7、的錯誤,從而達(dá)到糾正的效果.例如,“任意三角形,則覆蓋此三角形的最小圓是它的外接圓”此命題是否正確?解:所給命題對直角三角形及銳角三角形都成立,但對于鈍角三角形不成立.我們可以通過“逆向思維”來構(gòu)造反例:先作一個圓,再在此圓上取很近的三點(圖3),顯然,圓就是的外接圓,但覆蓋的圓要比外接圓小.一般地,可以證明:覆蓋鈍角的最小圓是以其最大邊為直徑的圓,而且此圓比的外接圓小.事實上,由于是鈍角,故對屬于的任一點,有,所以在圓內(nèi);另一方面,覆蓋的圓的直徑不會小于,所以覆蓋的最小圓是圓.因,所以的外接圓圓心不可能在直線上,所以即外接圓直

8、徑大于.又如,有的學(xué)生把“圓柱過兩條母線的截面中,以軸截面的面積為最大”的結(jié)論類比移植到圓錐,誤認(rèn)為“圓錐過兩條母線的截面中,亦以軸截面的面積為最大.”此時,可構(gòu)造反例:一個圓錐頂角為,母線長為2，作一個過圓錐兩條母線的截面，其頂角為,則圓錐軸截面積.頂角為的截