空間直角坐標(biāo)系與向量(II)

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1、數(shù)量關(guān)系—第七章第一部分向量代數(shù)第二部分空間解析幾何在三維空間中:空間形式—點(diǎn),線,面基本方法—坐標(biāo)法;向量法坐標(biāo),方程（組）空間解析幾何與向量代數(shù)四、利用坐標(biāo)作向量的線性運(yùn)算第一節(jié)一、空間直角坐標(biāo)系三、向量的線性運(yùn)算二、向量的概念空間直角坐標(biāo)系與向量代數(shù)第七章ⅦⅡⅢⅥⅤⅧⅣ一、空間直角坐標(biāo)系由三條互相垂直的數(shù)軸按右手規(guī)則組成一個(gè)空間直角坐標(biāo)系.坐標(biāo)原點(diǎn)坐標(biāo)軸x軸(橫軸)y軸(縱軸)z軸(豎軸)過(guò)空間一定點(diǎn)o,坐標(biāo)面卦限(八個(gè))zox面Ⅰ1.空間直角坐標(biāo)系的基本概念向徑在直角坐標(biāo)系下坐標(biāo)軸上的點(diǎn)P,Q,R;坐標(biāo)面上的點(diǎn)A,B,C點(diǎn)M特殊點(diǎn)的坐標(biāo)

2、:有序數(shù)組(稱為點(diǎn)M的坐標(biāo))原點(diǎn)O(0,0,0);坐標(biāo)軸:坐標(biāo)面:為空間兩點(diǎn).在直角三角形和中,用勾股定理2.空間兩點(diǎn)間點(diǎn)的距離空間兩點(diǎn)間距離公式例1.在y軸上求與兩點(diǎn)解:設(shè)該點(diǎn)為解得故所求點(diǎn)為及思考:(1)如何求在xoy面上與A,B等距離之點(diǎn)的軌跡方程?(2)如何求在空間與A,B等距離之點(diǎn)的軌跡方程?等距離的點(diǎn).向量表示:向量的模:向量的大小,二、向量的概念向量:(又稱矢量).既有大小,又有方向的量稱為向量向徑(矢徑):自由向量:與起點(diǎn)無(wú)關(guān)的向量.起點(diǎn)為原點(diǎn)的向量.單位向量:模為1的向量,零向量:模為0的向量,有向線段M1M2,或a,規(guī)定:零

3、向量與任何向量平行;若向量a與b大小相等,方向相同,則稱a與b相等,記作a＝b;若向量a與b方向相同或相反,則稱a與b平行,a∥b;與a的模相同,但方向相反的向量稱為a的負(fù)向量,記作因平行向量可平移到同一直線上,故兩向量平行又稱兩向量共線.若k(≥3)個(gè)向量經(jīng)平移可移到同一平面上,則稱此k個(gè)向量共面.記作－a;模、方向角與方向余弦設(shè)有兩非零向量任取空間一點(diǎn)O,稱?=∠AOB(0≤?≤?)為向量的夾角.類似可定義向量與軸,軸與軸的夾角.與三坐標(biāo)軸的夾角?,?,?為其方向角.方向角的余弦稱為其方向余弦.記作方向余弦的性質(zhì):空間一點(diǎn)在軸上的投影過(guò)點(diǎn)A

4、作軸u的垂直平面,即為點(diǎn)A在軸u上的投影.空間一向量在軸上的投影軸u稱為投影軸.已知向量的起點(diǎn)A和終點(diǎn)B在軸u上的投影分別為那么軸u上的有向線段的值,稱為向量在軸u上的投影.1.向量在軸上的投影三、向量的線性運(yùn)算Projection在軸u上的向量軸與向量的夾角的余弦：向量在軸u上的投影記為投影性質(zhì)1投影等于向量的模乘以投影有正、注負(fù)之分;模只為正值.（可推廣到有限多個(gè)）兩個(gè)向量的和在軸上的投影等于兩個(gè)向量在該軸上的投影之和.投影性質(zhì)2：兩向量和在軸上的投影uABcA′B′c′投影性質(zhì)31證uBA例+21,uuBA坐標(biāo)依次為、.)(12euur-

5、=eueurr12-=2.向量在坐標(biāo)軸上的分向量與向量的坐標(biāo)的投影如是與軸u正向一致的單位向量,因此可知:上坐標(biāo)分別為起點(diǎn)終點(diǎn)向量在x軸上的投影向量在y軸上的投影向量在z軸上的投影按基本單位向量的坐標(biāo)分解式：向量的坐標(biāo)表達(dá)式：坐標(biāo)坐標(biāo)坐標(biāo)x軸分向量y軸分向量z軸分向量特殊地例+.已知兩點(diǎn)和的模、方向余弦和方向角.解:計(jì)算向量例+.設(shè)點(diǎn)A位于第一卦限,解:已知角依次為求點(diǎn)A的坐標(biāo).則因點(diǎn)A在第一卦限,故于是故點(diǎn)A的坐標(biāo)為向徑OA與x軸y軸的夾三角形法則:平行四邊形法則:運(yùn)算規(guī)律:交換律結(jié)合律三角形法則可推廣到多個(gè)向量相加.3、向量的加減法--加法

6、三角不等式定義2：設(shè)則減法?是一個(gè)數(shù),規(guī)定:可見(jiàn)?與a的乘積是一個(gè)新向量,記作總之:運(yùn)算律:結(jié)合律分配律因此4.向量與數(shù)的乘法性質(zhì)1.設(shè)a為非零向量,則a∥b(?為唯一實(shí)數(shù))設(shè)則定義3：性質(zhì)2.取方向與三個(gè)坐標(biāo)軸正向相同的單位向量則任意向量可分解為例2.解:由向量的運(yùn)算性質(zhì)得求例3.證明連接三角形兩邊中點(diǎn)的線段平行于第三邊且等于第三邊的一半。證明:所以有且例4.已知兩點(diǎn)在AB直線上求一點(diǎn)M,使解:設(shè)M的坐標(biāo)為如圖所示及實(shí)數(shù)得即說(shuō)明:由得定比分點(diǎn)公式:點(diǎn)M為AB的中點(diǎn),于是得中點(diǎn)公式:5、兩向量的數(shù)量積1）.定義設(shè)向量的夾角為?,稱記作數(shù)量積(點(diǎn)

7、積).5、兩向量的數(shù)量積記作故2）.性質(zhì)為兩個(gè)非零向量,則有?3）.運(yùn)算律(1)交換律(2)結(jié)合律(3)分配律事實(shí)上,當(dāng)時(shí),顯然成立;4）.數(shù)量積的坐標(biāo)表示設(shè)則當(dāng)為非零向量時(shí),由于兩向量的夾角公式,得例5.已知解:求故例6+.已知三點(diǎn)?AMB.解:則求故1）.定義定義向量方向:(叉積)記作且符合右手規(guī)則模:向量積,??稱例如力矩思考:右圖三角形面積S＝6、兩向量的向量積2）.性質(zhì)為非零向量,則∥∥3）.運(yùn)算律(2)分配律(3)結(jié)合律(證明略)證明:4）.向量積的坐標(biāo)表示式設(shè)則向量積的行列式計(jì)算法(行列式計(jì)算見(jiàn)P339～P342)例6已知求與都垂

8、直且滿足如下之一條件的向量:(1)為單位向量;(2),其中解與都垂直,所以與(2)設(shè),則又得所以(1)例6+.已知三點(diǎn)角形ABC的面積.解:如圖所示,