空間直角坐標系與空間向量典型例題

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1、空間直角坐標系與空間向量一、建立空間直角坐標系的幾種方法構建原則：遵循對稱性，盡可能多的讓點落在坐標軸上。作法：充分利用圖形中的垂直關系或構造垂直關系來建立空間直角坐標系．類型舉例如下：（一）用共頂點的互相垂直的三條棱構建直角坐標系　　例1　已知直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2，底面ABCD是直角梯形，∠A為直角，AB∥CD，AB＝4，AD＝2，DC＝1，求異面直線BC1與DC所成角的余弦值．　　解析：如圖1，以D為坐標原點，分別以DA、DC、DD1所在直線為x、y、z軸建立空間直角坐標系，則C1（０，1

2、，2）、B（2，4，０），　　∴，．　　設與所成的角為，　　則．（二）利用線面垂直關系構建直角坐標系例2　如圖2，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AB⊥側面BB1C1C，E為棱CC1上異于C、C1的一點，EA⊥EB1．已知，BB1＝2，BC＝1，∠BCC1＝．求二面角A－EB1－A1的平面角的正切值．　　解析：如圖2，以B為原點，分別以BB1、BA所在直線為y軸、z軸，過B點垂直于平面AB1的直線為x軸建立空間直角坐標系．　　由于BC＝1，BB1＝2，AB＝，∠BCC1＝，　　∴在三棱柱ABC－A1B1C1中，有B（０，

3、０，０）、A（０，０，）、B1（０，2，０）、、．設且，9　　由EA⊥EB1，得，　　即，∴，　　即或（舍去）．故．　　由已知有，，故二面角A－EB1－A1的平面角的大小為向量與的夾角．　　因，故，即（三）利用面面垂直關系構建直角坐標系　　例3　如圖3，在四棱錐V－ABCD中，底面ABCD是正方形，側面VAD是正三角形，平面VAD⊥底面ABCD．　　（1）證明AB⊥平面VAD；　　（2）求面VAD與面VDB所成的二面角的余弦值．　　解析：（1）取AD的中點O為原點，建立如圖3所示的空間直角坐標系．設AD＝2，則A（1，０

4、，０）、D（－1，０，０）、B（1，2，０）、V（０，０，），∴＝（０，2，０），＝（1，０，－）．　　由，得　　AB⊥VA．又AB⊥AD，從而AB與平面VAD內兩條相交直線VA、AD都垂直，∴AB⊥平面VAD；　?。?）設E為DV的中點，則9　　∴，，．　　∴，　　∴EB⊥DV．　　又EA⊥DV，因此∠AEB是所求二面角的平面角．　　∴．故所求二面角的余弦值為．（四）利用正棱錐的中心與高所在直線構建直角坐標系　　例4　已知正四棱錐V－ABCD中，E為VC中點，正四棱錐底面邊長為2a，高為h．　?。?）求∠DEB的余弦值

5、；　?。?）若BE⊥VC，求∠DEB的余弦值．　　解析：（1）如圖4，以V在平面AC的射影O為坐標原點建立空間直角坐標系，其中Ox∥BC，Oy∥AB，則由AB＝2a，OV＝h，有B（a，a，０）、C（-a，a，０）、D（-a，-a，０）、V（0，0，h）、　　∴，．　　∴，　　即；（2）因為E是VC的中點，又BE⊥VC，所以，即，9∴，∴．這時，即．引入空間向量坐標運算，使解立體幾何問題避免了傳統(tǒng)方法進行繁瑣的空間分析，只需建立空間直角坐標系進行向量運算，而如何建立恰當?shù)淖鴺讼?，成為用向量解題的關鍵步驟之一．下面以高考考

6、題為例，剖析建立空間直角坐標系的三條途徑．（五）利用圖形中的對稱關系建立坐標系圖形中雖沒有明顯交于一點的三條直線，但有一定對稱關系（如正三棱柱、正四棱柱等），利用自身對稱性可建立空間直角坐標系．例5已知兩個正四棱錐P－ABCD與Q－ABCD的高都為2，AB＝4．（1）證明：PQ⊥平面ABCD；（2）求異面直線AQ與PB所成的角；（3）求點P到面QAD的距離．簡解：（1）略；（2）由題設知，ABCD是正方形，且AC⊥BD．由（1），PQ⊥平面ABCD，故可分別以直線為x，y，z軸建立空間直角坐標系（如圖1），易得，．　　所

7、求異面直線所成的角是．（3）由（2）知，點設n=（x，y，z）是平面QAD的一個法向量，則得取x＝1，得．點P到平面QAD的距離．　　點評：利用圖形所具備的對稱性，建立空間直角坐標系后，相關點與向量的坐標應容易得出．第（3）問也可用“等體積法”求距離．9二、向量法解立體幾何（一）知識點向量的數(shù)量積和坐標運算是兩個非零向量，它們的夾角為，則數(shù)叫做與的數(shù)量積（或內積），記作，即其幾何意義是的長度與在的方向上的投影的乘積.其坐標運算是：若，則①；②；③④（二）例題講解題型：求角度相關1.異面直線所成的角圖1分別在直線上取定向量

8、則異面直線所成的角等于向量所成的角或其補角（如圖1所示），則2.直線與平面所成的角圖2在上取定，求平面的法向量（如圖2所示），再求，則為所求的角.3．二面角圖3甲方法一：構造二面角的兩個半平面的法向量（都取向上的方向，如圖3所示），則9①若二面角是“鈍角型”的如圖3甲所示，那么其大小等于兩法向量圖3乙的夾角的補角，即