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1、3.1空間直角坐標系一、空間直角坐標系二、向量的概念三、向量的線性運算四、向量在軸上的投影五、線性運算的幾何意義六、向量的模與方向余弦ⅦⅡⅢⅥⅤⅧⅣ做三條互相垂直的數軸,組成一個空間直角坐標系.坐標原點o坐標軸x軸(橫軸)y軸(縱軸)z軸(豎軸)過空間一定點o,坐標面卦限(八個)zox面Ⅰ一空間直角坐標系三條坐標軸符合右手規(guī)則空間的點M有序數組(x,y,z)特殊點的表示:坐標軸上的點P,Q,R,坐標面上的點A,B,C,.卦限坐標IⅡⅢⅣⅤⅥⅦⅧx＋－－＋＋－－＋y＋＋－－＋＋－－z＋＋＋＋－－－－點的坐標的符號特點例在O-xyz坐標系中表示以下三個
2、點：M1(1,2,3),M2(-1,2,3),M3(1,2,-3).M1xyzO123.xyzO2-1M2xyzO12-3M33..M2(-1,2,3),M3(1,2,-3).二、向量的概念向量：既有大小又有方向的量.以A為起點，B為終點的有向線段.向量的模：向量的大小.單位向量：模為1的向量.零向量：模為0的向量.（模又稱為長度或范數）.AB向量的表示：AB
3、
4、AB
5、
6、a自由向量：不考慮起點位置的向量.相等向量：大小相等且方向相同的向量.負向量：大小相等但方向相反的向量.向徑：空間直角坐標系中任一點與原點構成的向量三、向量的線性運算1.向量的分量
7、：把向量作平行移動，使其起點與原點重合。設其終點A的坐標為(a1,a2,a3),則稱a1,a2,a3為向量的分量或坐標，記為=(a1,a2,a3).OAa1a2a3零向量2.向量的線性運算定義設?=(a1,a2,a3),?=(b1,b2,b3),?+?稱為加法，k??稱為數乘.加法與數乘統(tǒng)稱為線性運算.?-?=?+（-?）=(a1-b1,a2-b2,a3-b3).?+?=(a1+b1,a2+b2,a3+b3),k??=(ka1,ka2,ka3).?=?a1=b1,a2=b2,a3=b3.3.線性運算滿足的運算規(guī)律(1)?+?=?+?;(2)(?+?
8、)+?=?+(?+?);(3)?+0=?;(4)?+(-?)=0;(5)1?=?;(6)k(l?)=(kl)?;(7)k(?+?)=k?+k?;(8)(k+l)?=k?+l?.例化簡解4.基向量與線性表出單位向量稱為基向量.=(a1,a2,a3)=(a1,0,0)+(0,a2,0)+(0,0,a3)稱可由線性表出。分向量。xyzO四、向量在軸上的投影1.空間兩向量的夾角的概念：類似地，可定義向量與一軸的夾角.特殊地，當兩個向量中有一個零向量時，規(guī)定它們的夾角可在0與之間任意取值.2.空間一點在軸上的投影3.向量在軸上的投影過空間點A,B作平面與軸u
9、垂直，與軸u相交于A’,B’,向量AB在軸u上的投影定義為AB
10、
11、A’B’
12、
13、,A’B’與u同向-
14、
15、A’B’
16、
17、,A’B’與u反向向量在軸上的投影有以下兩個性質：u上的投影等于向量的模乘以(1)向量AB在軸軸與向量的夾角的余弦：證由性質1容易看出：投影為負；投影為零；(4)相等向量在同一軸上投影相等；投影為正；（可推廣到有限多個）利用勾股定理從圖中可得在三個坐標軸上的投影.向量OA的坐標a1,a2,a3分別是OA
18、
19、OA
20、
21、
22、
23、kOA
24、
25、
26、
27、OA
28、
29、解例五、線性運算的幾何意義所以，OAPB是平行四邊形.則故經平行移動后可與重合.故//同理：xyO
30、PABb2b1a2a1a2+b2a1+b1設1.平行四邊形法則是以為邊的平行四邊形的對角線.平行四邊形法則也可表示為三角形法則:2.伸縮變換(1)?>0,與同向；(2)?=0,(3)?<0,與反向.對應坐標成比例例如，即，對應坐標是成比例的注意：再如，對應坐標是成比例的例非零向量單位化.設向量則例證明：三角形的中位線平行于底邊且等于底邊的一半.證設DE是中位線，DE=DA+AE=BC.=BA+AC=(BA+AC)ABCED例試用向量方法證明：對角線互相平分的四邊形必是平行四邊形.證與平行且相等,結論得證.注由勾股定理得六.向量的模與方向余弦1.向量
31、的?？臻g兩點間距離公式平面兩點間距離公式空間兩點間距離公式中點的坐標：中點的坐標：圓的方程：球面的方程：解原結論成立.解設P點坐標為所求點為2、向量的方向余弦非零向量與三條坐標軸的正向的夾角稱為方向角.稱為向量的方向余弦.由圖示可知a1方向余弦的性質特殊地：解解例小結一、向量的線性運算作業(yè)：P101:4,6,8,11二、向量的模和方向余弦三、向量在軸上的投影需要記住的結論對應坐標成比例平行四邊形法則三角形法則中點的坐標：解所求向量有兩個，一個與同向，一個反向或
