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1、絕對收斂與條件收斂一、交錯級數(shù)及其斂散性交錯級數(shù)是各項正負相間的一種級數(shù)，它的一般形式為或其中，un?0(n=1,2,…)定理(萊布尼茲判別法)若交錯級數(shù)滿足條件(1)(2)un?un+1(n=1,2,…)則交錯級數(shù)收斂，且其和S的值小于u1.(級數(shù)收斂的必要條件)證只需證明級數(shù)部分和Sn當(dāng)n??時的極限存在.1)取交錯級前2m項之和由條件(2)：un?un+1，un?0,得S2m?以及由極限存在準(zhǔn)則：2)取交錯級數(shù)的前2m+1項之和由條件1):綜上所述，有例1.討論級數(shù)的斂散性.解：這是一個交錯級數(shù)，又由萊布尼茲判別法，該級數(shù)是收斂.例2.判別級數(shù)的斂散性.解：這是一個交錯級數(shù)，又令x?
2、[2,+?)，則x?[2,+?)，故f(x)?[2,+?)，即有un?un+1成立，由萊布尼茲判別法，該級數(shù)收斂.解原級數(shù)收斂.二、任意項級數(shù)及其斂散性(1)級數(shù)的絕對收斂和條件收斂定義：若級數(shù)對收斂的；若級數(shù)但級數(shù)定理：若(即絕對收斂的級數(shù)必定收斂)證：?un?
3、un
4、?從而上定理的作用：任意項級數(shù)正項級數(shù)解故由定理知原級數(shù)絕對收斂.定理(達朗貝爾判別法)設(shè)有級數(shù)若(1)?<1時,級數(shù)絕對收斂；(2)?>1(包括?=??)時，級數(shù)發(fā)散；(3)?=1時，不能由此斷定級數(shù)的斂散性.例5.判別級數(shù)的斂散性.解：由P一級數(shù)的斂散性，即原級數(shù)絕對收斂.例6.判別的斂散性，其中，x??1為常數(shù).解：
5、記當(dāng)
6、x
7、<1時，?=
8、x
9、<1,原級數(shù)絕對收斂.當(dāng)
10、x
11、>1時，?=1,此時不能判斷其斂散性.由達朗貝爾判別法：但
12、x
13、>1時，從而，原級數(shù)發(fā)散.例6.級數(shù)是否絕對收斂?解：由調(diào)和級數(shù)的發(fā)散性可知，故發(fā)散.但原級數(shù)是一個收斂的交錯級數(shù)：故原級數(shù)是條件收斂，不是絕對收斂的.(2)絕對收斂級數(shù)的性質(zhì)性質(zhì)1.任意交換絕對斂級數(shù)中各項的位置，其斂散性不變，其和也不變.性質(zhì)2.兩個絕對收斂的級數(shù)的積仍是一個絕對收斂的級數(shù)，且其和等于原來兩個級數(shù)的和之積.小結(jié)1、交錯級數(shù)(萊布尼茨定理)2、絕對收斂與條件收斂作業(yè)：P127：2(1)-(8)
