橢圓習(xí)題典藏版

《橢圓習(xí)題典藏版》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在行業(yè)資料-天天文庫(kù)。

1、【例8】（06.全國(guó)一卷.20題）在平面直角坐標(biāo)系中，有一個(gè)以和為焦點(diǎn)，離心率為的橢圓.設(shè)橢圓在第一象限的部分為曲線C，動(dòng)點(diǎn)P在C上，C在點(diǎn)P處的切線與x,y軸的交點(diǎn)分別為A,B且向量OM=OA+OB.試求點(diǎn)M的軌跡方程【分析】點(diǎn)P在已知軌跡（橢圓在第一象限的部分）上，是主動(dòng)點(diǎn)；點(diǎn)M在未知軌跡上，且隨著點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)而運(yùn)動(dòng)，是被動(dòng)點(diǎn).故本例是典型的國(guó)際已知軌跡求未知軌跡，適合用坐標(biāo)轉(zhuǎn)移法解之.此外，過(guò)橢圓上一點(diǎn)P的切線方程，可以直接運(yùn)用例5的結(jié)論.【解析】橢圓的半焦距，離心率.又橢圓的焦點(diǎn)在y軸上，故其方程為：.設(shè)

2、點(diǎn)P的坐標(biāo)為那么過(guò)點(diǎn)P的橢圓切線方程為：在方程（2）中，令y=0，得.設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為.由OM=OA+OBT，代入（1）：.∵，∴所求點(diǎn)M的軌跡方程是：.轉(zhuǎn)移法求軌跡方程的基本步驟是：（1）在已知軌跡上任取一點(diǎn)M（x0，y0），并寫(xiě)出其滿足的已知關(guān)系式；（2）設(shè)P（x，y）為待求軌跡上一點(diǎn)，并根據(jù)題設(shè)條件求出兩個(gè)坐標(biāo)的關(guān)系式；（3）用x，y的代數(shù)式分別表示x0，y0，代入（1）中的關(guān)系式化簡(jiǎn)即得.（5）三角法——與解析法珠聯(lián)璧合三角學(xué)的資源豐富，方法靈活.在解析幾何解題中適當(dāng)引入三角知識(shí)，優(yōu)點(diǎn)多多.例如橢圓方程的

3、三角形式是：，既將點(diǎn)的坐標(biāo)中的兩個(gè)變量減少為一個(gè)，又可以利用三角的優(yōu)勢(shì)去解決解析幾何中的疑難.【例9】若P是橢圓上的點(diǎn)，F(xiàn)1和F2是焦點(diǎn)，則的最大值和最小值分別是-5-【解析】橢圓的長(zhǎng)、短半軸分別為a=2，b=，∴半焦距c=1.焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為：F1（-1，0），F(xiàn)2（1，0）.設(shè)橢圓上一點(diǎn)為，那么.同理；.于是故所求最大值為4，最小值是3.3已知、是橢圓的左、右焦點(diǎn)，A是橢圓上位于第一象限內(nèi)的一點(diǎn)，點(diǎn)B也在橢圓上，且滿足為坐標(biāo)原點(diǎn)），，若橢圓的離心率等于（Ⅰ）求直線AB的方程；（Ⅱ）若的面積等于，求橢圓的方程；

4、（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，橢圓上是否存在點(diǎn)M使得的面積等于？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由.解：（Ⅰ）由知直線AB經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，又由因?yàn)闄E圓離心率等于，故橢圓方程可以寫(xiě)成，設(shè)所以，故直線AB的斜率，因此直線AB的方程為（Ⅱ）連接AF1、BF1，由橢圓的對(duì)稱性可知，所以故橢圓方程為（Ⅲ）由（Ⅱ）可以求得假設(shè)在橢圓上存在點(diǎn)M使得的面積等于，設(shè)點(diǎn)M到直線AB的距離為d，則應(yīng)有，所以設(shè)M所在直線方程為與橢圓方程聯(lián)立消去x得方程即故在橢圓上不存在點(diǎn)M使得的面積等于-5-6已知直線相交于A、B兩點(diǎn)，且（I）求橢圓C

5、的離心率；（II）若橢圓C的右焦點(diǎn)關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)在圓上，求橢圓C的方程.解：（I）設(shè).由.該方程的兩根為，由韋達(dá)定理，得，（II）設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為F（c，0），F(xiàn)關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)為，則故所求橢圓方程為.7已知定點(diǎn)A（－2，0），動(dòng)點(diǎn)B是圓（F為圓心）上一點(diǎn)，線段AB的垂直平分線交BF于P。（1）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程；（2）直線交P點(diǎn)的軌跡于M，N兩點(diǎn)，若P點(diǎn)的軌跡上存在點(diǎn)C，使求實(shí)數(shù)m的值；解：（1）由題意：∵

6、PA

7、=

8、PB

9、且

10、PB

11、+

12、PF

13、=r=8∴

14、PA

15、+

16、PF

17、=8>

18、AF

19、∴P點(diǎn)軌跡為以A、

20、F為焦點(diǎn)的橢圓設(shè)方程為（2）設(shè)-5-………………………………14分8已知橢圓一個(gè)頂點(diǎn)為A（0，1），且它的離心率與雙曲線的離心率互為倒數(shù).（I）求橢圓的方程；（Ⅱ）過(guò)A點(diǎn)且斜率為k的直線與橢圓相交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)M在橢圓上，并且滿足，求k的值.解：（Ⅰ）∵雙曲線∴橢圓的離心率為?！邫E圓的一個(gè)頂點(diǎn)為A（0，1），∴b=1（Ⅱ）過(guò)A點(diǎn)且斜率為k的直線的方程是y=kx+1，代入到橢圓方程中，消去y并整理得顯然這個(gè)方程有兩解。設(shè)即A（0，1），B將E點(diǎn)的坐標(biāo)代入到橢圓方程中，并去墳?zāi)箍傻谜归_(kāi)整理得-5-9已知橢圓C的中

21、心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，經(jīng)過(guò)點(diǎn)的直線l與向量（－2，）平行且通過(guò)橢圓C的右焦點(diǎn)F，交橢圓C于A、B兩點(diǎn)，又（1）求直線l的方程；（2）求橢圓C的方程.（1）直線l過(guò)點(diǎn)且與向量（－2，）平行則l方程為：化簡(jiǎn)為：（2）設(shè)直線與橢圓交于A（由將中整理得由韋達(dá)定理可知：………………9分由①2/②知32b2=（4b2+5a2）（a2－1）又=1，故可求得因此所求橢圓方程為：-5-