靜電場(chǎng)恒定電場(chǎng)和恒定磁場(chǎng)

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1、第二章靜電場(chǎng)、恒定電場(chǎng)和恒定磁場(chǎng)2.1靜電場(chǎng)的基本方程1.真空中的高斯定理式（2.7）中∑q為閉合曲面S所包圍的自由電荷總電荷量。真空中的高斯定理表明，穿過(guò)任意一個(gè)高斯面的電場(chǎng)強(qiáng)度通量等于該閉合曲面所包圍的自由電荷的總電量與真空中介電常數(shù)的比值。2.電介質(zhì)所謂電介質(zhì)就是不導(dǎo)電的介質(zhì)，如空氣、純凈水、玻璃、橡膠等，它們的特點(diǎn)是絕大部分電荷處于束縛狀態(tài)，不像導(dǎo)體內(nèi)有自由移動(dòng)的電子。圖2.1電介質(zhì)的極化式中電位移矢量為介質(zhì)中的高斯定理表示為在線性的各向同性的電介質(zhì)中例2.1在空氣中放入一個(gè)帶電量為Q、半徑為a的球體，該球體的相對(duì)介電常數(shù)為εr。求該球體內(nèi)

2、、外任意一點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度。解（1）球內(nèi)任意一點(diǎn)，設(shè)到球心距離為r,做高斯面為以r為半徑的球面，如圖2.2所示。由電場(chǎng)的對(duì)稱性可知，E和D的方向?yàn)閑r,所以圖2.2（2）在球外，高斯面為半徑為r的球面，則高斯面包圍的自由電荷即是Q，即∑q=Q所以例2.2電介質(zhì)中有一無(wú)限長(zhǎng)帶電直線，其線電荷密度為ρl,求空間任意一點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度，電介質(zhì)的相對(duì)介電常數(shù)為εr。解:做高斯面S如圖2.3所示，由對(duì)稱性可知電場(chǎng)強(qiáng)度E只有er分量Er,而分量、ez分量Ez被抵消了，均為零。圖2.3在點(diǎn)電荷q的電場(chǎng)中任取一條曲線上的連續(xù)A、B兩點(diǎn)，如圖2.4所示，則靜電場(chǎng)E（r）沿此

3、曲線的線積分為圖2.4靜電場(chǎng)的線積分例2.3在靜電場(chǎng)中,把帶電量為-2μC的電荷從A(2,1,-1)點(diǎn)移到B(8,2,-1)點(diǎn)。求沿下列路徑移動(dòng)時(shí)電場(chǎng)力所做的功，如圖2.5所示。圖2.53.靜電場(chǎng)環(huán)量定理（1）沿l1路徑：（2）沿l2路徑：A→C→B。4.靜電場(chǎng)的基本方程人們把靜電場(chǎng)的高斯定理和環(huán)量定理稱為靜電場(chǎng)的基本方程的積分形式靜電場(chǎng)基本方程的微分形式解:根據(jù)靜電場(chǎng)的基本方程微分形式可知例2.4已知在自由空間球坐標(biāo)系中電場(chǎng)分布為求空間各點(diǎn)的體電荷密度分布。2.2電位和電位方程1.電位靜電場(chǎng)是無(wú)旋的矢量場(chǎng)，因此可以引入一個(gè)標(biāo)量函數(shù)，這個(gè)標(biāo)量函數(shù)稱

4、為電位函數(shù)φ有如下關(guān)系：設(shè)在空間兩點(diǎn)A、B，則它們的電位差為兩點(diǎn)之間的電位差通常稱為電壓。如果選取B點(diǎn)為電位參考點(diǎn)，即=0，則A點(diǎn)的電位為例2.5對(duì)于例2.1求出球體內(nèi)、外任意一點(diǎn)的電位。解:選取無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)為電位參考點(diǎn)則球體外半徑為r的A點(diǎn)的電位為在球面坐標(biāo)系中對(duì)于球體內(nèi)半徑為r的點(diǎn)A′，其電位為2.電位方程泊松方程:拉普拉斯方程泊松方程在無(wú)界空間內(nèi)，已知場(chǎng)源電荷分布，可根據(jù)場(chǎng)源積分法算出電位。那么對(duì)于連續(xù)帶電體，則可以取一電荷元dq，求出dq產(chǎn)生的電位，然后進(jìn)行積分式中，R為場(chǎng)點(diǎn)和源點(diǎn)的距離；τ′為源點(diǎn)的區(qū)域。對(duì)于體分布、面分布、線分布情況的電位分

5、別表示為體分布：面分布：線分布：(2.25)(2.26)(2.27)例2.6在空氣中，半徑為a的圓平面上均布面電荷密度為ρs的電荷（ρs為常數(shù)）。求在圓平面中心垂直軸線上任意點(diǎn)處的電位和電場(chǎng)強(qiáng)度。解:由式(2.26)可知如圖2.6所示，對(duì)上式求負(fù)梯度即得到電場(chǎng)強(qiáng)度E(z)，由對(duì)稱性可知E(z)只有ez分量，所以圖2.62.3靜電場(chǎng)的邊界條件式(2.32)和式(2.33)是分界面上E的切向分量的邊界條件。下面討論兩種典型的邊界條件（1）兩種電介質(zhì)的邊界在兩種不同介質(zhì)的分界面上，沒(méi)有自由電荷，即=0，所以式（2.30）和式(2.32)變?yōu)镈1n=D2n

6、(2.34)E1t=E2t(2.35)式(2.34)還可寫(xiě)成電場(chǎng)強(qiáng)度法向分量的形式，即ε1E1n=ε2E2n(2.36)由于兩種電介質(zhì)ε1≠ε2，電場(chǎng)強(qiáng)度的法向分量在介質(zhì)分界面上是不連續(xù)的。這是因?yàn)殡妶?chǎng)對(duì)電介質(zhì)產(chǎn)生極化作用，而使在兩種不同的分界面上產(chǎn)生極化面電荷。（2）電介質(zhì)和導(dǎo)體的邊界導(dǎo)體是一種自身帶有大量自由電荷的物質(zhì)，在導(dǎo)體內(nèi)部電場(chǎng)強(qiáng)度處處為零。設(shè)第一種媒質(zhì)為電介質(zhì)，第二種媒質(zhì)為導(dǎo)體，則D2n=0，E2t=0，所以電介質(zhì)與導(dǎo)體的邊界條件為以上兩式說(shuō)明，在導(dǎo)體表面的電介質(zhì)中，電場(chǎng)強(qiáng)度沒(méi)有切向分量，只有法向分量，即電場(chǎng)垂直于導(dǎo)體表面，且導(dǎo)體表面上

7、由于靜電感應(yīng)的自由面電荷密度等于導(dǎo)體表面上電介質(zhì)中電位移矢量的大小。例2.8兩塊導(dǎo)電平板平行放置，其間填充厚度分別為d1、d2的兩層電介質(zhì)，相對(duì)介電常數(shù)分別為和，如圖2.10所示。兩導(dǎo)電板間的電壓為U，忽略邊緣效應(yīng)，求它們之間電場(chǎng)強(qiáng)度及電荷分布。解:忽略邊緣效應(yīng)，近似認(rèn)為導(dǎo)體板數(shù)靠近電介質(zhì)1或電介質(zhì)2一側(cè)的表面的電荷是均勻分布的。這樣在兩種介質(zhì)中的電場(chǎng)都是均勻的。圖2.10圖2.11在電介質(zhì)1和電介質(zhì)2的分界面上無(wú)自由電荷，即ρs=0，但存在著極化電荷，極化面電荷密度為2.9在兩種各向同性的電介質(zhì)分界面兩側(cè)，電場(chǎng)強(qiáng)度在電介質(zhì)1中與法線的夾角為，在電

8、介質(zhì)2中與法線的夾角為，如圖2.11所示，試推導(dǎo)、與、之間的關(guān)系。解:由邊界條件可知，界面上沒(méi)有自由電荷，所以有2.4導(dǎo)體