陀螺進動理論

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1、陀螺進動理論及其局限性什么是陀螺？廣義上說，只要能繞某軸轉動，而此軸又可繞另一匯交軸轉動的剛體就可叫作陀螺。但工程上常將具有固定點的，高速自轉的對稱剛體稱為陀螺。就像我們平時玩的玩具陀螺，由于高速自轉，就有可能對對稱剛體的定點運動作近似研究。設對稱剛體在對稱軸z（陀螺主軸）上具有固定點O，剛體有3個自由度；陀螺繞主軸的轉動慣量為J。如果陀螺的自轉角度大大的大于主軸在空間的轉動角速度，就可用陀螺的自轉動量矩近似代替陀螺對點O的全部動量矩。這里是陀螺的自轉角速度，由陀螺馬達維持為常量（轉速通常為6000rpm到10000rpm），因此，陀螺自轉動量矩H的大小為常量，方向與主軸一致這時對點O的

2、動量矩可近似寫成：H對時間的導數(shù)的物理意義是H端點的速度，因而有＝即陀螺自轉動量矩H端點的速度等于陀螺所受的外力矩。由該式可推出陀螺的三個力學特性：1．定軸性如果陀螺不受任何外力矩，則其主軸在慣性空間保持方向不變2．進動性如果陀螺受到外力矩的作用，則主軸的運動并不是在外力矩的作用平面內發(fā)生，而是在垂直于該平面發(fā)生。這種特殊運動稱為陀螺的進動性，如圖1所示，力F作用于陀螺主軸，對點O產生力矩為Mo，H端點有速度＝，于是主軸繞y軸轉動，即垂直于力F與支點O形成的鉛垂平面運動。進動角速度圖13．陀螺效應如果強制陀螺以角速度W進動，則陀螺必給施力者一個反力偶，其力矩為Mr，有：Mr＝－MoMr＝

3、H×這個力矩與一般剛體的反作用力矩也不相同，稱為陀螺力矩；與陀螺力矩有關的現(xiàn)象稱為陀螺效應這些結論統(tǒng)稱為陀螺的進動理論，它是高速自轉下的近似理論，只適用于三自由度陀螺。陀螺進動理論是有其局限性的，是近似的，其本質是忽略了陀螺的慣性，一般的靜止物體受力時，物體有加速度，但不能立刻獲得速度，必須經過一段時間后才能獲得速度，這說明物體有慣性。而陀螺進動理論指出，只要有力矩M作用，陀螺主軸立即以角速度進動，這顯然忽略了陀螺的慣性。這就導致了進動理論對某些必須考慮陀螺慣性的問題失效，例如：涉及穩(wěn)定性的問題。圖2如圖2所示，以直立陀螺為例，其重心位于支點的上方，A為對n軸的轉動慣量。依照進動理論，在

4、重力矩作用下，H端點的速度恒垂直于陀螺主軸z與鉛垂軸n構成的平面，因此，不管自轉角速度如何，陀螺主軸均作圓錐運動而不倒，這顯然與實際不符。實際上陀螺主軸在作進動的同時還疊加有高頻微幅的圓錐狀抖動，稱為陀螺的章動。如果這個章動是隨時間發(fā)散的，則陀螺在鉛直位置的直立狀態(tài)就不可能穩(wěn)定。若要考慮陀螺的章動，就必須考慮其慣性，也就必須轉向精確的動力學方程。當直立陀螺的主軸在鉛直線附近作圓錐運動時，有當時，有（1）引入變量它的意義是陀螺角速度在主軸上的投影，且有。由于重力矩Mo恒垂直于主軸，即動量矩矢量Lo端點的速度恒垂直于主軸，因此Lz是常量，即代入式（1）得這是一個相對變量的二次代數(shù)方程式，要想

5、有實數(shù)解，即要想使陀螺在直立位置附近的規(guī)則進動能夠實現(xiàn)，判別式應大于零：把在鉛垂位置直立的陀螺看成的極限狀態(tài)，則得到直立陀螺的穩(wěn)定條件是所以，要想使陀螺在鉛直位置穩(wěn)定的旋轉，自轉角速度不能太小，這與我們在實際中得到的經驗也是一致的。經過一個學期的《理論力學》的學習，確實感到這是一門對我們今后的工作非常有用的課程