蒙特卡羅模擬方法課件

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1、蒙特卡羅模擬方法?一、蒙特卡羅方法概述?二、蒙特卡羅方法模型?三、蒙特卡羅方法的優(yōu)缺點(diǎn)及其適用范圍?四、相關(guān)案例分析及軟件操作?五、問題及相關(guān)答案MonteCarlo方法的發(fā)展歷史?早在17世紀(jì)，人們就知道用事件發(fā)生的“頻率”來決定事件的“概率”。從方法特征的角度來說可以一直追溯到18世紀(jì)后半葉的蒲豐（Buffon）隨機(jī)投針試驗(yàn)，即著名的蒲豐問題。1707-1788?1777年，古稀之年的蒲豐在家中請(qǐng)來好些客人玩投針游戲（針長(zhǎng)是線距之半），他事先沒有給客人講與π有關(guān)的事?？腿藗冸m然不知道主人的用意，但是都參加了游戲。他們共投針2212次，

2、其中704次相交。蒲豐說，2212/704=3.142，這就是π值。這著實(shí)讓人們驚喜不已。例．蒲豐氏問題?設(shè)針投到地面上的位置可以用一組參數(shù)（x,θ）來描述，x為針中心的坐標(biāo)，θ為針與平行線的夾角，如圖所示。?任意投針，就是意味著x與θ都是任意取的，但x的范圍限于［0，a］，夾角θ的范圍限于［0，π］。在此情況下，針與平行線相交的數(shù)學(xué)條件是針在平行線間的位置x?l?sin??1,當(dāng)x?l?sin?s(x,?)???0,其他N1sN??s(xi,?i)Ni?1P?s(x,?)f(x)f(?)dxd???12?d?lsin?dx2l????0

3、?0a?a2l2l???aPasN?一些人進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)，其結(jié)果列于下表：實(shí)驗(yàn)者年份投計(jì)次數(shù)π的實(shí)驗(yàn)值沃爾弗(Wolf)185050003.1596斯密思(Smith)185532043.1553?？怂?Fox)189411203.1419拉查里尼190134083.1415929(Lazzarini)20世紀(jì)四十年代，由于電子計(jì)算機(jī)的出現(xiàn)，利用電子計(jì)算機(jī)可以實(shí)現(xiàn)大量的隨機(jī)抽樣的試驗(yàn)，使得用隨機(jī)試驗(yàn)方法解決實(shí)際問題才有了可能。其中作為當(dāng)時(shí)的代表性工作便是在第二次世界大戰(zhàn)期間，為解決原子彈研制工作中，裂變物質(zhì)的中子隨機(jī)擴(kuò)散問題，美國(guó)數(shù)學(xué)家馮.諾

4、伊曼（VonNeumann）和烏拉姆（Ulam）等提出蒙特卡羅模擬方法。由于當(dāng)時(shí)工作是保密的，就給這種方法起了一個(gè)代號(hào)叫蒙特卡羅，即摩納哥的一個(gè)賭城的名字。用賭城的名字作為隨機(jī)模擬的名稱，既反映了該方法的部分內(nèi)涵，又易記憶，因而很快就得到人們的普遍接受。蒙特卡羅方法的基本思想?蒙特卡羅方法又稱計(jì)算機(jī)隨機(jī)模擬方法。它是以概率統(tǒng)計(jì)理論為基礎(chǔ)的一種方法。?由蒲豐試驗(yàn)可以看出，當(dāng)所求問題的解是某個(gè)事件的概率，或者是某個(gè)隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望，或者是與概率、數(shù)學(xué)期望有關(guān)的量時(shí)，通過某種試驗(yàn)的方法，得出該事件發(fā)生的頻率，或者該隨機(jī)變量若干個(gè)具體觀察值的算

5、術(shù)平均值，通過它得到問題的解。這就是蒙特卡羅方法的基本思想。因此，可以通俗地說，蒙特卡羅方法是用隨機(jī)試驗(yàn)的方法計(jì)算積分，即將所要計(jì)算的積分看作服從某種分布密度函數(shù)f(r)的隨機(jī)變量ｇ(r)的數(shù)學(xué)期望??g???g(r)f(r)dr0通過某種試驗(yàn)，得到Ｎ個(gè)觀察值r，r，…，r（用概12N率語(yǔ)言來說，從分布密度函數(shù)f(r)中抽?。蝹€(gè)子樣r，1r，…，r，），將相應(yīng)的Ｎ個(gè)隨機(jī)變量的值g(r)，2N1g(r)，…，g(r)的算術(shù)平均值2NN1gN??g(ri)Ni?1作為積分的估計(jì)值（近似值）。計(jì)算機(jī)模擬試驗(yàn)過程計(jì)算機(jī)模擬試驗(yàn)過程，就是將試驗(yàn)過程

6、（如投針問題）化為數(shù)學(xué)問題，在計(jì)算機(jī)上實(shí)現(xiàn)。模擬程序?l=1;?d=2;?m=0;?n=10000?fork=1:n;?x=unifrnd(0,d/2);?y=unifrnd(0,pi);?ifx<0.5*1*sin(y)?m=m+1?else?end?end?p=m/n?pi_m=1/p①建立概率統(tǒng)計(jì)模型N②收集模型中風(fēng)險(xiǎn)變量的數(shù)據(jù)，確定風(fēng)⑤根據(jù)隨機(jī)數(shù)在各風(fēng)險(xiǎn)因數(shù)的分布函數(shù)險(xiǎn)變量的概率分布中隨機(jī)抽樣，代入第一步中建立的數(shù)學(xué)模型N③根據(jù)風(fēng)險(xiǎn)分析的精度要求，確NN定模擬次數(shù)④建立對(duì)隨機(jī)變量的抽樣方法，產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)。⑥N個(gè)樣本值⑦統(tǒng)計(jì)分析，估計(jì)

7、均值，標(biāo)準(zhǔn)差例子1N某投資項(xiàng)目每年所得盈22AaPbL????cQd利額A由投資額P、勞動(dòng)生產(chǎn)率L、和原料及能收集P,L,Q數(shù)據(jù)，確定分布函源價(jià)格Q三個(gè)因素。數(shù)fPfLfQ(),(),()N抽取122P,L,Q一AaPbL????cQdN模擬次數(shù)N；根據(jù)分組隨機(jī)布函數(shù)，產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)數(shù)，帶根據(jù)歷史數(shù)據(jù)，預(yù)測(cè)未來。入模型產(chǎn)生N個(gè)A值統(tǒng)計(jì)分析，估計(jì)均值，標(biāo)準(zhǔn)差X模型建立的兩點(diǎn)說明?MonteCarlo方法在求解一個(gè)問題是，總是需要根據(jù)問題的要求構(gòu)造一個(gè)用于求解的概率統(tǒng)計(jì)模型，常見的模型把問題的解化為一個(gè)隨機(jī)變量的某個(gè)參數(shù)的估計(jì)問題。?要估計(jì)的參數(shù)

8、通常設(shè)定為的數(shù)學(xué)期望（亦平均值，即）。按統(tǒng)計(jì)學(xué)慣例，可用的樣本的平均值來估計(jì)，即X??XEX()???X(...XX1,)2,Xnn1???XX?knk?1收集模型中風(fēng)險(xiǎn)變量的數(shù)據(jù)，確定風(fēng)險(xiǎn)因