不用拉格朗日乘數(shù)求條件極值

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1、求函數(shù)在條件下的極值Lagrange乘數(shù)法(1)作Lagrange函數(shù)：(2)求的駐點(diǎn)：（根據(jù)多元函數(shù)極值的必要條件）約束條件解以上方程組，得駐點(diǎn)：(3)便是可能的條件極值點(diǎn)可根據(jù)實(shí)際問題斷定為條件極值以上方法要解一個(gè)三元方程組，有時(shí)比較復(fù)雜。下面介紹一種方法，可以不設(shè)拉格朗日函數(shù)。目標(biāo)函數(shù)約束條件另一種方法：不設(shè)拉格朗日函數(shù)的方法利用條件極值的必要條件：由它們的分量成比例與約束條件一起解出極值點(diǎn)。公式（6）114頁這個(gè)方法常常更簡(jiǎn)單24Mar12例求函數(shù)：在圓：解作Lagrange函數(shù)：求F的駐點(diǎn)：上的最值四個(gè)駐點(diǎn)另解（不設(shè)拉格朗日函數(shù)的方

2、法）利用公式（6），條件極值的必要條件：這個(gè)方法似乎更簡(jiǎn)單24Mar12四個(gè)駐點(diǎn)：最大值最小值最大值最小值最大值最小值例用Lagrange乘數(shù)法再解例5(112頁)求函數(shù)在約束條件下的極小值解作Lagrange函數(shù)求F的駐點(diǎn)根據(jù)題意，在該點(diǎn)處，水池的表面積最小。另解（不設(shè)拉格朗日函數(shù)的方法）利用公式（6），條件極值的必要條件：上面這個(gè)方程組比較難解。下面用不設(shè)拉格朗日函數(shù)的方法解之。這個(gè)方法似乎更簡(jiǎn)單24Mar12帶入約束條件：Lagrange乘數(shù)法可以推廣到有多個(gè)約束條件的條件極值問題例如求三元函數(shù)在兩個(gè)約束條件下的極值目標(biāo)函數(shù)當(dāng)點(diǎn)(x,y

3、,z)在曲線上變動(dòng)時(shí)，求f(x,y,z)的極值約束條件方法如下：作Lagrange函數(shù)：這是一個(gè)五元函數(shù)求F的駐點(diǎn)，可得f的條件極值點(diǎn)Lagrange乘數(shù)以上方法要解一個(gè)五元方程組，有時(shí)比較復(fù)雜。下面介紹一種方法，可以不設(shè)拉格朗日函數(shù)。目標(biāo)函數(shù)約束條件另一種方法：不設(shè)拉格朗日函數(shù)的方法條件極值的必要條件：由它們的混合積為零與約束條件一起解出極值點(diǎn)。這個(gè)方法有時(shí)更簡(jiǎn)單24Mar2012