立體幾何中的最值問題答案

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1、立體幾何中的最值問題線段長度最短或截面周長最小問題例1?正三棱柱ABC—AbG中，各棱長均為2,M為AA】中點(diǎn)，N為BC的中點(diǎn)，則在棱柱的表面上從點(diǎn)M到點(diǎn)N的最短距離是多少?并求之.AuGMAiBiGA】解析:(2)從底面到N點(diǎn)，沿棱柱的AC、BC剪開、展開,如圖2.⑴從側(cè)面到N,如圖1,沿棱柱的側(cè)棱AAi剪開，并展開,則MN=Jamsan?=Jr+(2+i)2=Vio則MN=VAM2+A7V2-2AM?cos120°=^l2+(V3)2+2xlxV3x

2、=*?*J4+VVWMNmin=J4+?例2?如圖，正方形A

3、BCD、ABEF的邊長都是1，而且平面ABCD、ABEF互相垂直。點(diǎn)M在AC上移動(dòng)，點(diǎn)N在BF±移動(dòng)，若CM=BN=^(0

4、"丁時(shí)’"NF即心分別移動(dòng)珈CM中點(diǎn)吋,MN的長最小，最小值為鳴2(3)取MN的中點(diǎn)G,連接AG.BG,VAM=AN,BM=BN,AAG±MN，BG丄MN,AZAGB即為二面角a的平面角。又心BG斗,所以由余弦定理有COS6T=丄3故所求二面角a=arccos（--）。A例3?如圖，邊長均為a的正方形ABCD、ABEF所在的平面所成的角為&（0<0<色）。點(diǎn)M在AC上，點(diǎn)N在BF上，若AM二FN,⑴求（2）由⑴知：當(dāng)"丁時(shí)’"NF即心分別移動(dòng)珈CM中點(diǎn)吋,MN的長最小，最小值為鳴2(3)取MN的中點(diǎn)G,連接AG.B

5、G,VAM=AN,BM=BN,AAG±MN，BG丄MN,AZAGB即為二面角a的平面角。又心BG斗,所以由余弦定理有COS6T=丄3故所求二面角a=arccos（--）。A例3?如圖，邊長均為a的正方形ABCD、ABEF所在的平面所成的角為&（0<0<色）。點(diǎn)M在AC上，點(diǎn)N在BF上，若AM二FN,⑴求證:MN//面BCE;（2）求證:MN丄AB;⑶求MN的最小值.解析：(J如圖，作MG//AB交BC于G,NH//AB交BE于H，MP//BC交AB于P,連PN，GH，易證MG//NH,且MG二NH，故MGNH為平行

6、四邊形，所以MN//GH,故MN//面BCE;(2)易證AB丄面MNP,故MN丄AB;(3)ZMPN即為面ABCD與ABEF所成二面角的平面角，即ZMPN=0,設(shè)AP=x9貝0BP=a—x,NP=a_x,所以:MN=yjx2+(d-x)2-2x(q-x)cos&^2(1+COS^)(X——)2+—(1—COS^)t7~9故當(dāng)"號時(shí)，MN有最小值書(1一cos%.例4?如圖，正方形ABCD、ABEF的邊長都是1,而且平面ABCD、ABEF互相垂直。點(diǎn)M在AC±移動(dòng)，點(diǎn)N在BF±移動(dòng)，若CM=x,BN=y,(0

7、

8、MP丄面ABEF,所以MP丄PN,PB5P乎沁PBN中，由余弦定理得：PN2=(^-x)2+y24--V2xy?cos45°=^x2+y2-xy9在&△PMN中,MN=7mP2+PAT2=J(l-^x)2+*2+y2=Jx2+y2-xy-V2x+l(0

9、=￥時(shí)，MN有最小值羋且該最小值是異面直線AC,BF之間的距離。???例5?如圖，在AABC中，ZACB=90°,BC=a,AC=b,D是斜邊AB上的點(diǎn)，以CD為棱把它折成直二面角A—CD—B后，D在怎樣的位置時(shí),最小值是多少?AB為最小,解析：設(shè)ZACD=0,則ZBCD=90°-0,作AM丄CD于M,BN丄CD于N,于是AM=bsin9,CN=asin9?AMN=Iasin6-bcos0I,因?yàn)锳—CD—B是直二面角，AM丄CD,BN±CD,??.AM與BN成90。的角，于是AB=J/?'sin?&+/cos?&

10、+(asin&-bcos^)?=^a2+/?2-cibsin20Ma2+b2-ab.???當(dāng)0=45°即CD是ZACB的平分線時(shí)，AB有最小值，最小值為JcT+b~—cib?例6.正三棱錐A-BCD,底面邊長為a,側(cè)棱為2a,過點(diǎn)B作與側(cè)棱AC、AD相交的截面，在這樣的截面三角形中，求(1)周長的最小值;(2)周長為最小時(shí)截面積的值，(3)用這周長最小時(shí)的截