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1、立體幾何中的軌跡與最值問題徐德濤在立體幾何中，某些點、線、面依一定的規(guī)則運動，構(gòu)成各式各樣的軌跡，探求空間軌跡與求平面軌跡類似，應(yīng)注意幾何條件，善于基本軌跡轉(zhuǎn)化。對于較為復(fù)雜的軌跡，常常要分段考慮，注意特定情況下的動點的位置，然后對任意情形加以分析判定，也可轉(zhuǎn)化為平面問題。對每一道軌跡命題必須特別注意軌跡的純粹性與完備性。立體幾何中的最值問題一般是指有關(guān)距離的最值、角的最值或面積的最值的問題。其一般方法有：1、幾何法：通過證明或幾何作圖，確定圖形中取得最值的特殊位置，再計算它的值；ABCDEFGPOMNS2、代數(shù)方法：分析給定圖形中的數(shù)量關(guān)系，選
2、取適當(dāng)?shù)淖宰兞考澳繕?biāo)函數(shù)，確定函數(shù)解析式，利用函數(shù)的單調(diào)性、有界性，以及不等式的均值定理等，求出最值。一、軌跡問題【例1】如圖，在正四棱錐S－ABCD中，E是BC的中點，P點在側(cè)面△SCD內(nèi)及其邊界上運動，并且總是保持PEAC.則動點P的軌跡與△SCD組成的相關(guān)圖形最有可能的是()PPPPSCDSCDSCDSCDA．B．C．D．解析：如圖，分別取CD、SC的中點F、G，連結(jié)EF、EG、FG、BD.設(shè)AC與BD的交點為O，連結(jié)SO，則動點P的軌跡是△SCD的中位線FG。由正四棱錐可得SB⊥AC，EF⊥AC.又∵EG∥SB∴EG⊥AC∴AC⊥平面EF
3、G，∵P∈FG，E∈平面EFG，∴AC⊥PE.另解：本題可用排除法快速求解。B中P在D點這個特殊位置，顯然不滿足PEAC；C中P點所在的軌跡與CD平行，它與CF成角，顯然不滿足PEAC；D于中P點所在的軌跡與CD平行，它與CF所成的角為銳角，顯然也不滿足PEAC。評析：動點軌跡問題是較為新穎的一種創(chuàng)新命題形式，它重點體現(xiàn)了在解析幾何與立體幾何的知識交匯處設(shè)計圖形。不但考查了立體幾何點線面之間的位置關(guān)系，而且又能巧妙地考查求軌跡的基本方法，是表現(xiàn)最為活躍的一種創(chuàng)新題型。這類立體幾何中的相關(guān)軌跡問題，如“線線垂直”問題，很在程度上是找與定直線垂直的平
4、面，而平面間的交線往往就是動點軌跡?！纠?】(1)如圖，在正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，E、F、G、H分別是CC1、C1D1、DD1、DC的中點，N是BC的中點，點M在四邊形EFGH及其內(nèi)部運動，則M滿足時，有MN∥平面B1BDD1.(2)正方體ABCD—A1B1C1D1中，P在側(cè)面BCC1B1及其邊界上運動，且總保持AP⊥BD1，則動點P的軌跡是線段B1C.(3)正方體ABCD—A1B1C1D1中，E、F分別是棱A1B1，BC上的動點，且A1E=BF，P為EF的中點，則點P的軌跡是線段MN(M、N分別為前右兩面的中心).(4)已知正方體
5、ABCD—A1B1C1D1的棱長為1，在正方體的側(cè)面BCC1B1上到點A距離為的點的集合形成一條曲線，那么這條曲線的形狀是，它的長度是.ABCDD1C1B1A1PNABCDD1C1B1A1MGEHFABCDD1C1B1A1PABCDD1C1B1A1EFP(1)(2)(3)(4)若將“在正方體的側(cè)面BCC1B1上到點A距離為的點的集合”改為“在正方體表面上與點A距離為的點的集合”那么這條曲線的形狀又是，它的長度又是.ABCDD1C1B1A1P【例3】(1)(04北京)在正方體ABCD-A1B1C1D1中，P是側(cè)面BB1C1C內(nèi)一動點，若P到直線BC
6、與直線C1D1的距離相等，則動點P的軌跡所在的曲線是(D)A．A直線B．圓C．雙曲線D．拋物線lABCα變式：若將“P到直線BC與直線C1D1的距離相等”改為“P到直線BC與直線C1D1的距離之比為1：2(或2：1)”，則動點P的軌跡所在的曲線是橢圓(雙曲線).(2)(06北京)平面α的斜線AB交α于點B，過定點A的動直線l與AB垂直，且交α于點C，則動點C的軌跡是(A)A.一條直線B．一個圓C．一個橢圓D．雙曲線的一支ABCDD1C1B1A1MP解：設(shè)l與l￠是其中的兩條任意的直線，則這兩條直線確定一個平面，且斜線AB垂直這個平面，由過平面外一
7、點有且只有一個平面與已知直線垂直可知過定點A與AB垂直所有直線都在這個平面內(nèi)，故動點C都在這個平面與平面α的交線上，故選A.(3)已知正方體ABCD—A1B1C1D1的棱長為1，M在棱AB上，且AM=，點P到直線A1D1的距離與點P到點M的距離的平方差為1，則點P的軌跡為拋物線.ABCDD1C1B1A1MN3323(4)已知正方體ABCD—A1B1C1D1的棱長為3，長為2的線段MN點一個端點M在DD1上運動，另一個端點N在底面ABCD上運動，則MN的中點P的軌跡與正方體的面所圍成的幾何體的體積為.【例4】(04重慶)若三棱錐A-BCD的側(cè)面AB
8、C內(nèi)一動點P到底面BCD的距離與到棱AB的距離相等，則動點P的軌跡與△ABC組成圖形可能是：(D)ABCPABCPABCPABCPABC
