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1、立體幾何中的最值問題2007年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試新課程標準數(shù)學科考試大綱指出,通過考試,讓學生提高多種能力,其中空間想象能力是對空間形式的觀察、分析、抽象的能力.要在立體幾何學習中形成。立體幾何主要研究空間中點、線、面之間的位置關(guān)系,查遍近幾年全國各省市的高考題中,與空間圖形有關(guān)的線段、角、距離、面積、體積等最值問題常常在高考試題中出現(xiàn),并且成增長趨勢。下面舉例說明解決這類問題的常用方法。策略一、公理與定義法SDCQBAPO例1、在正四棱錐S-ABCD中,SO⊥平面ABCD于O,SO=2,底面邊長為,點P、Q分別在線段BD、SC上移動,則P、Q兩點的最短距離為()A.B.C.2
2、D.1【解析】如圖1,由于點P、Q分別在線段BD、SC上移動,先讓點P在BD上固定,Q在SC上移動,當OQ最小時,PQ最小。過O作OQ⊥SC,在Rt△SOC中,。又P在BD上運動,且當P運動到點O時,PQ最小,等于OQ的長為,也就是異面直線BD和SC的公垂線段的長。故選B。策略二建立函數(shù)法例2正的邊長為,沿的平行線折疊,使平面平面,求四棱錐的棱取得最小值時,四棱錐的體積。BCPAQxyzo分析:棱的長是由點到的距離變化而變化,因此我們可建立棱與點到的距離的一個函數(shù)關(guān)系式,從而求出棱的最小值,進而求出體積?!窘馕觥咳鐖D所示,取中點,顯然,即由平面平面,則平面,如圖建立直角坐標系,設(shè)5,因正
3、的邊長為,易知,得即當時,評注:對于圖形的翻折問題,關(guān)健是利用翻折前后不變的數(shù)量關(guān)系和圖形關(guān)系;同時還要仔細觀察翻折前后圖形的性質(zhì)。很多情況下,我們都是把這類動態(tài)問題轉(zhuǎn)化成目標函數(shù),最終利用代數(shù)方法求目標函數(shù)的最值。策略三;解不等式法例3求半徑為R的球內(nèi)接正三棱錐體積的最大值。分析:要使球內(nèi)接正三棱錐的體積最大,則需正三棱錐的邊或高最大,而高過球心,則可尋球高與半徑之間的關(guān)系?!窘馕觥咳缬覉D所示,設(shè)正三棱錐高=h,底面邊長為a由正三棱錐性質(zhì)可知=,又知OA=OB=R則在Rt中,V==(當且僅當,即時,取等號)正三棱錐體積最大值為策略四;變量分析法例4如圖已知在中,,PA⊥平面ABC,AE
4、⊥PB交PB于E,AF⊥PC于F,當AP=AB=2,,當變化時,求三棱錐P-AEF體積的最大值。分析:的變化是由AC與BC的變化引起的,要求三棱錐P-AEF的體積,則需找到三棱錐P-AEF的底面積和高,高為定值時,底面積最大,則體積最大。5【解析】∵PA⊥平面ABC,∴PA⊥BC又∵BC⊥AC,PA∴BC⊥平面PAC,AF,∴BC⊥AF,又∵AF⊥PC,PC∴AF平面PBC,∴AF⊥EF∴EF是AE在平面PBC上的射影,∵AE⊥PB,∴EF⊥PB∴PE⊥平面AEF在三棱錐P-AEF中,∵AP=AB=2,AE⊥PB,∴,,,,∵,∴,∴當時,取得最大值為。策略五:展開體圖法ABDC圖5例5
5、.如圖3-1,四面體A-BCD的各面都是銳角三角形,且AB=CD=a,AC=BD=b,AD=BC=c。平面α分別截棱AB、BC、CD、DA于點P、Q、R、S,則四邊形PQRS的周長的最小值是()A.2aB.2bC.2cD.a+b+c【解析】如圖3-2,將四面體的側(cè)面展開成平面圖形。由于四面體各AA′DBCD′SS′PRQ側(cè)面均為銳角三角形,且AB=CD,AC=BD,AD=BC,所以,A與A’、D與D’在四面體中是同一點,且,,A、C、A’共線,D、B、D’共線,。又四邊形PQRS在展開圖中變?yōu)檎劬€S’PQRS,S’與S在四面體中是同一點。因而當P、Q、R在S’S上時,最小,也就是四邊形P
6、QRS周長最小。又,所以最小值。故選B。策略六布列方程法例6、棱長為2cm的正方形體容器盛滿水,把半徑為1cm的銅球放入水中剛好被淹沒,5然后再放入一個鐵球,使它淹沒水中,要使流出來的水量最多,這個鐵球的半徑應該為多大?【解析】:過正方形對角線的截面圖如圖所示,,設(shè)小球的半徑,在,,∴∴,解得(cm)為所求。策略七、極限思想法【解析】三棱錐P-ABC中,若棱PA=x,其余棱長均為1,探討x是否有最值;2若正三棱錐底面棱長棱長均為1,探討其側(cè)棱否有最值。解析:如圖第1題:當P-ABC為三棱錐時,x的最小極限是P、A重合,取值為0,若繞BC順時針旋轉(zhuǎn),PA變大,最大極限是P,A,B,C共面時
7、,PA為菱形ABPC的對角線長度為第2題:若P在底面的射影為O,易知PO越小,側(cè)棱越小。故P、O重合時,側(cè)棱取最小極限值,PO無窮大時,側(cè)棱也無窮大??芍獌深}所問均無最值。策略八、向量運算法例8.在棱長為1的正方體ABCD-EFGH中,P是AF上的動點,則GP+PB的最小值為_______?!窘馕觥恳訟為坐標原點,分別以AB、AD、AE所在直線為x,y,z軸,建立如圖4所示的空間直角坐標系,則B(1,0,0),G(1,1,1)。根據(jù)