西安交大高數(shù)(I)

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1、第三節(jié)冪級數(shù)一、函數(shù)項級數(shù)的一般概念二、冪級數(shù)及其收斂性三、冪級數(shù)的運算四、小結(jié)練習(xí)題一、函數(shù)項級數(shù)的一般概念1.定義:2.收斂點與收斂域:函數(shù)項級數(shù)的部分和余項(x在收斂域上)注意函數(shù)項級數(shù)在某點x的收斂問題,實質(zhì)上是數(shù)項級數(shù)的收斂問題.3.和函數(shù):(定義域是?)解由達(dá)朗貝爾判別法原級數(shù)絕對收斂.原級數(shù)發(fā)散.收斂;發(fā)散;二、冪級數(shù)及其收斂性1.定義:2.收斂性:證明由(1)結(jié)論幾何說明收斂區(qū)域發(fā)散區(qū)域發(fā)散區(qū)域推論定義:正數(shù)R稱為冪級數(shù)的收斂半徑.冪級數(shù)的收斂域稱為冪級數(shù)的收斂區(qū)間.規(guī)定問題如何求冪級數(shù)的收斂半徑?證明由比值審斂法

2、,定理證畢.例2求下列冪級數(shù)的收斂區(qū)間:解該級數(shù)收斂該級數(shù)發(fā)散發(fā)散收斂故收斂區(qū)間為(0,1].解缺少偶次冪的項級數(shù)收斂,級數(shù)發(fā)散,級數(shù)發(fā)散,級數(shù)發(fā)散,原級數(shù)的收斂區(qū)間為三、冪級數(shù)的運算1.代數(shù)運算性質(zhì):(1)加減法(其中(2)乘法(其中柯西乘積(3)除法(相除后的收斂區(qū)間比原來兩級數(shù)的收斂區(qū)間小得多)2.和函數(shù)的分析運算性質(zhì):(收斂半徑不變)(收斂半徑不變)解兩邊積分得解解收斂區(qū)間(-1,1),常用已知和函數(shù)的冪級數(shù)四、小結(jié)2.冪級數(shù)的收斂性:收斂半徑R3.冪級數(shù)的運算:分析運算性質(zhì)1.函數(shù)項級數(shù)的概念:思考題冪級數(shù)逐項求導(dǎo)后，收

3、斂半徑不變，那么它的收斂域是否也不變？思考題解答不一定.例它們的收斂半徑都是1,但它們的收斂域各是練習(xí)題練習(xí)題答案