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《中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指導(dǎo):一道幾何題目的演變》由會員上傳分享,免費在線閱讀,更多相關(guān)內(nèi)容在工程資料-天天文庫。
1、一道幾何題目的演變“變式教學(xué)”為學(xué)生架起了一座知識的橋梁,引導(dǎo)學(xué)生從“變”的現(xiàn)象屮發(fā)現(xiàn)“不變”的本質(zhì);從“不變”的本質(zhì)中探究“變”的規(guī)律,使學(xué)生更深刻地理解數(shù)學(xué)知識,對提高學(xué)生思維能力、應(yīng)變能力大有裨益.所謂變式訓(xùn)練就是保持原命題的本質(zhì)不變,不斷變換原命題的條件、結(jié)論、圖形等產(chǎn)生新的情境,引導(dǎo)學(xué)生從多角度、多方面去探究問題.現(xiàn)以一道課本習(xí)題為例,談?wù)勅绾芜M(jìn)行變式訓(xùn)練.例題如圖1,已知點C為線段AB上的一點,分別以線段AC、BC為邊作正AACM和正△BCN,求證:AN=BM.圖1簡解由等邊三角形的性質(zhì)可以得出AACN,AMCB兩邊及其夾角分別對應(yīng)相等,從而△ACN^AMCB,得出線段AN與線段
2、BM相等.點評三角形全等的判定是中考的熱點,一般以考查三角形全等的方法為主.判定兩個三角形全等,先根據(jù)已知條件或求證的結(jié)論確定三角形,然后再根據(jù)三角形全等的判定方法,看缺什么條件,再去證什么條件.本題考查了等邊三角形的性質(zhì)的運用,全等三角形的判定與性質(zhì)的運用,解答時證明三角形全等是關(guān)鍵,注意:全等三角形的判定定理有SAS,ASA,AAS,SSS,HL,全等三角形的對應(yīng)邊、對應(yīng)角相等.演變1植入新問:不改變原命題的條件和結(jié)論,在原命題屮植入新的問題,拓寬對圖形性質(zhì)的進(jìn)一步研究.(1)求證:DC=CE;(2)圖2屮,線段AN與BM相交于點0,求ZB0N度數(shù);(3)若連結(jié)0C,如圖3,則0C平分Z
3、A0B嗎?請說明理由.圖2圖3解析(1)由厶ACN^AMCB,可得ZDNC=ZEBC,又ZDCN=ZECB=60°,CN=CB,得厶DCN^AECB,結(jié)論得證,在此基礎(chǔ)上,若連結(jié)線段DE,如圖2,可求證DE〃AB.(2)由ZBON=ZAOM=ZNAB+ZABM=ZCMB+ZCBM=ZACM而得出結(jié)論.(3)過點C作CG丄AN,CH丄BM,由厶ACN^AMCB,得到兩三角形面積相等,由AN=BM,得至lJCG=CH,再利用角平分線定理即可得證.演變2克隆變式:原命題條件、結(jié)論不變,將正三角形變?yōu)檎竭呅?、菱形?(2)①將原題中“AACM和ABCN兩個等邊三角形”換成“兩個正方形”(如圖4),
4、AF與BD的關(guān)系如何?②如果點C在線段AB的延長線上,a中結(jié)論是否成立?請作圖,并說明理由.解析(AF與BD有數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系.四邊形ACDE、CBGF是正方形,AC=CD,CF=CB,ZACF=ZDCB=90°,可證△ACF竺△DCB(SAS),得AF=BD;延長AF交DB于點G,根據(jù)ZFAC=ZBCD,對頂角相等,得ZBGN=ZMCB=90°,即BD丄AC.②先證△AFC^ADBC可得結(jié)論成立.評注此題主要考查了正方形的性質(zhì),全等三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用,以及學(xué)生的推理能力.(3)上述問題中,若將其中一個正方形固定,使另一個正方形繞點C任意旋轉(zhuǎn)一個角解析抓住運動中不變的元素,證明思路與
5、(4)類似.(2)(2014年南通中考題)如圖7,點E是菱形ABCD對角線CA的延長線上任意一點,以線段AE為邊作一個菱形AEFG,且菱形AEFGs菱形ABCD,連結(jié)EB、GD.①求證:EB=DG;②若ZDAB=60°,AB=2,AG=能,求GD的長.解析①利用相似多邊形的對應(yīng)角相等和菱形的四邊相等證得三角形全等后即可證得兩條線段相等;②連接BD交AC于點P(如圖&),貝ijBP丄AC.根據(jù)ZDAB=60°,BP=-AB=1,2得到EP=2a/3;利用勾股定理求得EB的長,即可求得線段GD的2.點評本題考查了相似多邊形的性質(zhì),解題的關(guān)鍵是了解相似多邊形的對應(yīng)邊的比相等、對應(yīng)角相等.演變3變?yōu)?/p>
6、探究題:將原命題的題設(shè)、結(jié)論進(jìn)行弱化處理,變?yōu)闂l件開放或結(jié)論開放題;或在保持圖形的某些性質(zhì)不變的情況下,將圖形中的某些元素(點、線等)運動起來,從形外到形內(nèi)再到形外,在運動中尋找不變關(guān)系或變化的規(guī)律.(2)已知:如圖9所示,在厶ABC和厶ADE中,AB=AC,AD=AE,ZBAC=ZDAE,且點B、A、D在一條直線上,連結(jié)BE,CD,M,N分別為BE,CD的中點.①求證:(i)BE=CD;(ii)AAMN是等腰三角形.②在圖9的基礎(chǔ)上,將AADE繞點A按順吋針方向旋轉(zhuǎn)180°,其他條件不變,如圖10.請直接寫出①中的兩個結(jié)論是否仍然成立.解析①(i)由ZBAC=ZDAE,等式左右兩邊都加上Z
7、CAE,得到一對角相等,再由AB=AC,AF為公共邊,利用SAS可得出三角形ABE與三角形ACD全等,由全等三角形的對應(yīng)邊相等可得出BE=CD;(ii)rflM與N分別為BE,CD的中點,且BE=CD,可得出ME=ND,由△ABE與△ACD全等,得到對應(yīng)邊AE=AD,對應(yīng)角ZAEB=ZADC,利用SAS可得illAAME與厶AND全等,利用全等三角形的對應(yīng)邊相等可得出AM=AN,即AAMN為等腰三角形.②結(jié)論