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《中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指導(dǎo):一道經(jīng)典題的“裂變”》由會(huì)員上傳分享,免費(fèi)在線閱讀,更多相關(guān)內(nèi)容在工程資料-天天文庫。
1、一道經(jīng)典題的“裂變”縱觀近幾年各地的中考題,發(fā)現(xiàn)有些題目都是以某一問題為背景,進(jìn)行加工改造、拓展延伸、遷移演變而成的,這些變化后的題日有吋數(shù)量挺多,我們不妨稱之謂題目的“裂變”.現(xiàn)舉例如下.一、試題回放如圖1,正方形ABCD被兩條與邊平行的線段EF、GH分割成四個(gè)小矩形,P是EF■.■h?—??I?■■u?■丿H,RFC和GH的交點(diǎn),若矩形PFCH的面積恰是矩形AGPE的面積的2倍,試確定ZHAF的大小,并證明你的結(jié)論.這是1998年北京市屮學(xué)生數(shù)學(xué)競賽試題,其簡略證明如下:令A(yù)E=a,AG=b,CF二x,CH=y,則有a+x=b+y,變形為a-b=y-x.兩邊平方,得a2-2ab+b2
2、=y2-2xy+x.由題意知矽=2ab,代入上式,得a-2ab+62=y2-4ab+x,/.a+2ab+62=y2+x2,'即(a+b)2=y2+x2.對(duì)照?qǐng)D形可知,(A£+.4G)2=FH2,AE+AG=FH,.??DH+BF=FH.①由此可將NDAH繞/!點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。到的位置,顯然rr、B、F共線,=F丹,易得△FAHwAF/1/r,???乙HAF=乙AFH'=45°.②二、試題“裂變”1、加工改造使用探究以上證明中有①、②兩個(gè)結(jié)論產(chǎn)生,顯然此兩結(jié)論在正方形的背景下可以互相推出.題目1邊長為1的正方形ABCD被兩條與邊平行的線段EF、GH分割成四個(gè)小矩形,EF與GH的交點(diǎn)為P(
3、參見圖1).(1)若AG=AE,證明:AF=AH;(2)若ZHAF=45°,證明:AG+AE=FH;(3)若RtAGBF的周長為1,求矩形EPHD的血積.簡析(1)是一種特殊的狀態(tài),顯然由△ABF^AADH可得;(2)是根據(jù)原題證明中的①、②兩個(gè)結(jié)論可以互相推出直接引用,證明略;(3)設(shè)BF=x.BG=y,GF=m,貝0x+y=1-rnfx2+y2=m2,2xy=(1-m)?-亦=1一2m.???矩形EPHD的面積為:(1-%)(1-y)=1—(1—m)+—m1?—■■■■2-題目2如圖2,在正方形ABCD中,E是AB±一點(diǎn)、F是AD延長線上一點(diǎn),且ADGRC圖3DF=BE.圖2⑴求證:
4、CE=CF;(2)在圖2中,若G在AD上,且ZGCE=45°,求證:GE=BE+GD;⑶運(yùn)用(1)(2)解答屮所積累的經(jīng)驗(yàn)和知識(shí),完成下題:如圖3,直角梯形ABCD屮,AD〃BC(BC>AD),ZB=90°,AB=BC=12,E是AB上一點(diǎn),且ZDCE=45°,BE=4,求DE的長.簡析本題將原題的證明過程直接引用,使問題簡單而具有層次性.⑴⑵證明略;(3)根據(jù)以上經(jīng)驗(yàn),由題目條件首先將圖3補(bǔ)全為正方形ABCG,貝IJ有DE=BE+DG.設(shè)DE為■則DG=%-4,/.AD=12-DG=16-%,AE=&在RtAADE中,有(16-x)2+82=X2,x=10.2、拓展延伸使用再探究圖1中
5、,進(jìn)一步易得ACHF的周長=正方形邊長的2倍.作AK丄FH,K為垂足,因?yàn)椤鱂AH^AFAH*,所以AK=AB,同時(shí)易得△ABF9AAPF.AADH^AAPH.題目3如圖4,在正方形ABCD屮,點(diǎn)E、F分別在BC、CD上移動(dòng),但點(diǎn)A到EF的距離AH始終保持與AB長相等,問點(diǎn)E、F移動(dòng)過程中:(1)ZEAF的大小是否有變化?說明理由;(2)AECF的周長是否有變化?說明理由.圖4簡析(1)由以上的探討,可知本題是已知ZEAF=45°,則AH=AB的逆命題.由AABE^AAHE和厶ADF^AAHF不難得出,所以ZEAF=45°不變;(2)AECF的周長=正方形ABCD的邊長的2倍也不變.題目
6、4如圖5,AABC中,己知ZBAC=45°,AD丄BC于點(diǎn)D,BD=2,DC=3,求AD的長.探究并解答下列問題:B圖5(1)分別以AB、AC為對(duì)稱軸,畫出△ABD、AACD的軸對(duì)?稱圖形,D點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為E、F,延長EB、FC相交于G點(diǎn),證明四邊形AECF是正方形;(2)設(shè)AD=x,利用勾股定理,建立關(guān)于x的方程模型,求出x的值.簡析⑴利用軸對(duì)稱的性質(zhì),不難得出ZEAF=90°?又ZE=ZF=90°,且=AF=AD,/.四邊形AEGF是正方形;(2)在RlZkBGC中,BG=%-2,CG=%-3,.?.(%一2)2+(X-3)2=(2+3)2,%=6.題目5⑴如圖6,AABC內(nèi)接于00,
7、AD丄BC,OE丄BC,OE=-BC,求ZBAC的度數(shù);(2)將AACD沿AC折疊為AACF,將AABD沿AB折疊為ZABG,延長FC和GB相交于點(diǎn)H.求證:四邊形AFHG是正方形;(3)若BD=6,CD=4,求AD的長.簡析本題是與圓的有機(jī)結(jié)合,除⑴利用圓的知識(shí)求解外,(2)(3)與上題相同.(1)ZBAC=45°;⑵證明略;(3)AD=12.再探究圖1中,連結(jié)肋,與AFSAH分別交于點(diǎn),再連結(jié)MK、NK.易證ZUBMw5AKM