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《【精品】數分論文三》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關內容在工程資料-天天文庫。
1、云南大學數學分析習作課論文三題目：三個判別法的條件強弱學院：數學與統(tǒng)計學院專業(yè)：數學與應用數學姓名：學號：任課教師：時間:2012年12月摘要：萊布尼茲判別法、狄利克萊判別法和阿貝爾判別法是判斷任意項級數的收斂性，但不可以判斷發(fā)散。它們的條件有相似之處，又有區(qū)別。當然三個判別法也有強弱之分。對于不同的級數，應具休問題具體分析，從而采用合適的判別法進行判別。關鍵詞：CmMy收斂原理、阿貝爾變換、阿貝爾引理、萊布尼茲判別法、狄利克萊判別法、阿貝爾判別法、具體問題具體分析。一、三個判別法的定義和相關證明:補充：級數的收斂原理：0級
2、數￡兀,收斂的充分必耍條件是：對任意給定的￡>0,存在正整數N,使得H=1+兀“+2+乙+3+_+?！皕nXxkk=n^對一切加>n>N成立。也可敘述為：對任意給定的￡〉0,存在正整數N,使得對一切n>N與一切的正整數〃成立。取p=l,上式即為
3、兀』v禺于是就得到級數收斂的必要條件lim兀產°。H-?OC阿貝爾變換:設伉｝‘饑提兩數列,記氏=工/?「，（*T,2,…）則1=1PYab證：aPBP~iL（aM~a）Bkk=乞ab=cixBi+k=lk=2PP0B+工久氏一工弘氏k=2k=2p_[p_]EakB一工dwBk+
4、aPBPR=1*=1阿貝爾引理：設（l）bj為單調數列；⑵（bMB廣￡5，Ri2…）為冇界數列，BP3M>0,對一切匕成立IbJwM,則i=ltab5刖久+2°』k=證：由阿貝爾變換得pI工ab-aPbP^Xak+ra^Bik=l*=1p-1A-MaP-+Xak+rai-V心）于是得到由于單調，所以￡ab-wM+2N）k=①萊布尼茲判別法:有交錯級數X(-l)h仏即/-弘+…+⑷b+…/:=1。數列m單調減少，即乩訕小，則：弘級數t(-l}?收斂上余和甘t(-l)k,Mk的符號與余和首項(?1廠如相同,n=l?=卄1
5、a
6、rJ-Wn+r證明：萊布尼茲級數乞兀廣z(-l)'+,/仏＞0)，對W有川=1/?=!“+】+兒+2+兀”+3+…+兀"%“+】一0仏+2+%“+3一?+（一1）'U當戶是奇數時Un+rUn+2+%〃+3一°°°+（一1）Un+P_yun+~uUn+~^Un+2~U~U+?…+比“+0〉0{un+P-riitl+P-W/i+i當P是偶數時%”+1一%“+2+弘”+3一…+（一1）U_JGt一弘“+2）+。葉3一弘卄J+…+一U^fJ-0”+p[U?+r0“+2一UnJUll+oVU因而有兀卄1+Xn+2+Xfl+3
7、+…+Xn+pl^n+1況〃+2+Un+3-Un+1成立由FlirnM/j=0,所以對/￡〉0,日〃wN-，使得對一切72〉",成立弘+1V&于是對SgN+有九+1+?！?2+九+3+???+V￡,成立根據級數的Cauchy收斂原理知萊布尼茲級數￡（?1廠弘仏〉0）1攵②狄利克萊判別法:oo若級數￡a.方〃滿足下列條件71=11擻列仏憚調減少，且悝乙=0；2做數乞?的部分和數列（5〃｝有界，即>0,Vne^+，有n=I氏ITb]+方2+…+方卜M,8則級數￡。力”收斂。n=l證明:???lim°”=0,因此對于Vg>0,
8、則使得對于一切的7?〉N，冇n—an設丈令B嚴工亦=12…）則<￡.n+kj=n+ln^knBi=XbrXbi1=1應用阿貝爾引理，可得z=ii=i<2M.H+P￡以優(yōu)?=辦+1對一切的〃>N與一切的正整數〃成立00根據Cauchy收斂原理知工an◎收斂n=ik=n+a^+p<6Me③阿貝爾判別法:若級數tanb^足下列條件n=[呦數收斂，2）W單調有界，
9、a」SK（xl,2,???）,8則級數工Q““收斂°n=l證:00設b”
10、sM,由于工方”收斂，則對于任意給定的￡＞0,存在正整數N,使得對一切的n＞N^Wpgn=l
11、打+p有Xbkk=H+l＜城立,對也應用阿貝爾引理,即得k二n+1Ea^k＜血』+壯+業(yè)3Mek=n+g根據c加c/巧收斂原理知級數￡°斤/?”收斂。71=1二、比較①狄利克萊判別法與萊布尼茲判別法的比較弘血=（一1廠則單調趨于0,則由狄立克萊判別法可知交錯級數丈（-1廠仏仏〉0）是收斂的。n=l不難看出，判別丿交錯級數廠陸仏＞0妝斂的萊布尼茲判別法只是狄利克萊判別法的特殊情況，所以交錯級數的萊布尼茲判別法可以看成狄立克萊判別法的特例。由上可知，狄利克萊判別法強于萊布尼茲判別法狄利克萊判別法適用的，萊布尼茲判別法不一定適用
12、。例如:證明級數￡n=l”收斂性0證：易知sin(J/+l"=(_])"sin(J2[n+1一斤”=(_]『sin(、7112./[yn+1+〃丿顯然,是單調減少數列，且?71sin——J/+1+/7TTlimsin—=0{&_+]+n所以級數￡sin（需訂切]是萊布尼茲級數，H=1I丿由
