數(shù)分論文-數(shù)分論文

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1、淺談墓級數(shù)的展開與應(yīng)用摘要：通過學(xué)習(xí)幕級數(shù)的一些基本知識和泰勒公式，得出常用初等函數(shù)幕級數(shù)的展開式。幕級數(shù)在理論和實際中都冇很多應(yīng)丿IJ,它結(jié)構(gòu)簡單，通過幕級數(shù)的展開式可以表示函數(shù)，利用幕級數(shù)和函數(shù)的分析性質(zhì)，常常能夠解決數(shù)學(xué)分析屮很多疑難問題。關(guān)鍵詞：幕級數(shù)；泰勒公式；應(yīng)用。幕級數(shù)是數(shù)學(xué)分析中的一個非常重要的內(nèi)容，而H幕級數(shù)的應(yīng)用也非常廣泛，可以借助幕級數(shù)的展開形式很容易地解決一些較為復(fù)雜的問題。木文旨在研究幕級數(shù)的展開形式和探討函數(shù)幕級數(shù)在某些問題解決中的應(yīng)用。一、幕級數(shù)的一些基本知識1.幕級數(shù)定義1.1111:形

2、如￡厲（尤一兀0）”=do+q（x-x（））+d2（兀一兀o）'4■…+（兀一心）"+…，n?O（%GR,h=0,1,2…）的函數(shù)項級數(shù)稱為幕級數(shù)，它的i般項為an（X-Xo）n。當(dāng)兀0=0時，有00=a0+a}x+a2x2+???+a“x"+???。n=02.幕級數(shù)的性質(zhì)⑵由于工逐項求導(dǎo)，和逐項積分得到的兩新的幕級數(shù)工叫嚴(yán)，工缶〃1的收斂半徑為原幕級數(shù)收斂半徑和同，而工嚀”在收斂區(qū)間（-R,R）內(nèi)是內(nèi)閉一致收斂的，所以其和兩數(shù)是在（?RR）上連續(xù)、可積、可導(dǎo)且具有任意階的連續(xù)導(dǎo)數(shù)。3.和函數(shù)的求法⑵（1）和函數(shù)與幕級

3、數(shù)系數(shù)的關(guān)系：f（x）=YallX則°,嚴(yán)￡如，心0,1,2…。n（2）記住6個基木初等函數(shù)的幕級數(shù)：①（-co,+oo）；71=0巾?（2）sinx扌（-1）"F曲（2n+l）!00/1V宀（3）cosx=f丿—,xe（一oo,+oo）；幺（2n）!I7—0f-1V1YW%1ln（l+x）=￡—，xg（-1,1]:n=1n%1葉,1+￡叱一1）丫一?。╁瞲e（-l,l）；n=l卅!1處%1-—二工兀"‘xw（T,l）。1吠”=o（3）利用逐項求導(dǎo)或逐項積分的方法，將所給的幕級數(shù)化為上述六種級數(shù)Z—,寫岀初等函數(shù)形

4、式，然后將各步逆回，即可得到和函數(shù)的初等函數(shù)表達式。1.幕級數(shù)展開形式定理2.1⑴（泰勒公式）：若函數(shù)f（x）在點兀。的某領(lǐng)域內(nèi)存在直至n+1階的連續(xù)導(dǎo)數(shù),則★（兀）=/（%）+廣（％）（兀-兀0）+"$）（兀-％丫+???+"fl（兀-兀。）"+心（刃（*），這里心⑴為拉格朗口型余項心⑴二X。廠,其中§在;V與間，稱（*）式為/（X）在心W+1丿.的泰勒公式。如果兩數(shù)/（X）在"X。處存在任意階的導(dǎo)數(shù)，這是稱形式為/（?%）+廣（勺）（兀-兀0）+/"）（X-Xo）2+???+/[J（x_Xo）"+…的級數(shù)為函數(shù)/

5、（X）在X（）的泰勒級數(shù)。定理2.2卩設(shè)/（x）在點兀。具有任意階導(dǎo)數(shù),那么/（x）在區(qū)間（x0-r,x0+r）內(nèi)等于它的泰勒級數(shù)的和函數(shù)的充分條件是：對一?切滿足不等式卜-對＜廠的兀，有l(wèi)in}/?n（x）=0,這里Rtl（x）是f（x）在x0的泰勒公式余項。如果/（X）能在X。的某領(lǐng)域上等于其泰勒級數(shù)的和函數(shù)，則稱函數(shù)/（X）在X。的這一領(lǐng)域內(nèi)可以展開成泰勒級數(shù)，并稱等式/（兀）=/（切+廣比）（兀-勺）+'[："（x-x（））2+-?+，W（X-Xo）"+???的右邊為/（^）在Z!n:x=x0處的泰勒展開式，或

6、稱帚級數(shù)展開式。二、幕級數(shù)在某些問題解決中的應(yīng)用1.計算函數(shù)的近似值冇了函數(shù)的幕級數(shù)展開式，就可以用它來進行近似計算，即在展開式的冇效區(qū)間上，函數(shù)優(yōu)町以近似地利用這個級數(shù)按精確度要求計算出來。例1:計算龐的近似值。解:杜的麥克勞林展開式中,令七,得11(1丫13!(2—?1.648o其誤差[e=e2=1+—+22!⑵值，[e?1+—+丄+丄+24483841⑴r=——5!(2丿￡6!<27!遼丿1+116(2丿16?6⑵2+…]1i

7、/⑴的原函數(shù)不能用初等函數(shù)的有限形式表示出來時，計算/(x)的定積分就遇到了困難?，F(xiàn)在，可以利用幕級數(shù)取有限項的辦法近似計算這些定積分的值。具體計算時，當(dāng)然耍求被積函數(shù)能夠展成收斂的幕級數(shù)，幾積分限必須在幕級數(shù)的收斂域Z內(nèi)，然后利用逐項積分來計算所求定積分的值。例2：證明『sin/(_])”嚴(yán)(2/?+1)(2/?+!)!證明:8因為sinx=》(-1)”w=0宀I⑵?+1)!所以+￡(￡+??++(￡+…。嘆前5項作為運的近似33!5?5!(2n+l)(2n+l)!3.計算級數(shù)的和利川幕級數(shù)的性質(zhì)：幕級數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)

8、町逐項求導(dǎo)與逐項積分町計算幕級數(shù)的和。例3：求級數(shù)V—的和。臺S+1)!解：令/sr乞廠+"佃＜+°°)，則由幕級數(shù)逐項微分的性質(zhì)可知：n=l(X+ij?n=lS+l)!=±xn,從而小L￡巴#n=lX/i=l“?J山幕級數(shù)逐項積分的性質(zhì)有:『^1^=￡了-加=￡斗“一］，所以廣⑴二加，tn=l"?n=l斤?x于是/⑴叮廣⑴力訂*