一道課本例題的探究與應(yīng)用

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1、一道課本例題的探究與應(yīng)用課本是重要的教學(xué)資源，例題是數(shù)學(xué)教材的重要組成部分，是教材的精華，頗受高考命題專家的青睞?數(shù)學(xué)教師應(yīng)充分對例題進行探究，挖掘其應(yīng)用價值?著名數(shù)學(xué)家G?波利亞說：“一個專心的認真?zhèn)湔n的教師能拿出一個有意義的但又不太復(fù)雜的題目，去幫助學(xué)生發(fā)掘問題的各個方面，使英通過這道題，就好像通過一道門戶，把學(xué)生引入一個完整的理論領(lǐng)域.”下面通過一道課本例題的探究談?談如何“立足課本，對接高考”?1題目呈現(xiàn)題目(人教A版《數(shù)學(xué)〈選修2-1〉第41頁的例3)設(shè)點A,B的坐標(biāo)分別為(-5,0),(5,0),直線AM,BM相交于點M,且它們的斜率之積為-49,求點M的軌跡方程.2題日探

2、究探究1設(shè)點A,B的坐標(biāo)分別為(-a,0),(a,0)?直線AM,BM相交于點M,且它們的斜率之積為-b2a2,求點M的軌跡方程，點M的軌跡是什么？結(jié)論1與兩定點A(-a,0),B(a,0)連線的斜率之積等于定值-b2a2的點M的軌跡方程是x2a2+y2b2=l(xH土a).情形1：當(dāng)a>b>0時，點M的軌跡是以AB為長軸的橢圓，除去A,B兩點.情形2：當(dāng)b>a>0時，點M的軌跡是以AB為短軸的橢圓，除去A,B兩點.情形3：當(dāng)滬b>0時，點M的軌跡是以AB為直徑的圓，除去A,B兩占八、、?探究2結(jié)論1的反面是什么？是否成立？結(jié)論2橢圓x2a2+y2b2二1上兩個頂點（-a,0）,（a,

3、0）與橢圓上除這兩個頂點外的任一點連線的斜率之積為定值-b2a2.探究3類比“圓中任一條直徑所對的圓周角是直角”，將結(jié)論2中的兩頂點換成經(jīng)過橢圓屮心的任意一條弦的兩端點，結(jié)論是什么？結(jié)論是否成立？結(jié)論3橢圓x2a2+y2b2=l上任意經(jīng)過中心的弦的兩個端點與橢圓上任一點（除這兩點外）連線斜率之積為定值-b2a2.探究4將“圓的垂徑定理：平分眩（不是直徑）的直徑垂直于眩”類比到橢圓屮，結(jié)論是什么？結(jié)論是否成立？結(jié)論4過橢圓x2a2+y2b2=l的中心平分該橢圓弦的直線與弦所在的直線的斜率Z積為定值-b2a2.探究5將“圓的切線定理：過切點的直徑垂直于過該切點的圓的切線”類比到橢圓中，結(jié)論

4、是什么？結(jié)論是否成立？結(jié)論5過橢圓x2a2+y2b2=l上一點與屮心連線的直線的斜率與橢圓在該點處切線的斜率之積為定值-b2a2.當(dāng)然，可將以上橢圓中的結(jié)論類比到雙曲線中，探究其是否成立.（限于篇幅，留給讀者探究總結(jié)）3対接高考例1（2013年高考全國大綱卷（理科）第8題）橢圓C：x24+y23二1的左、右頂點分別為Al、A2,點P在C±,且直線PA2斜率的取值范圍是[-2,-1],那么直線PA1斜率的取值范圍是（）.A.12,34B.38,34C.12,1D.34,1解析由結(jié)論2得，kPAl?kPA2二-34,所以kPAl二-34kPA2（-2WkPA2W-1）?因為kPAl單調(diào)遞增

5、，所以38WkPAlW34,故選B.例2（2013年高考全國新課標(biāo)I卷（理科）第10題）已知橢圓E：x2a2+y2b2=l（a>b>0）的右焦點為F（3,0）,過點F的直線交橢圓于A、B兩點?若AB的中點坐標(biāo)為（1,-1）則E的方程為（）?A.x245+y236二1B.x236+y227二1C?x227+y218二1D?x218+y29二1解析由結(jié)論4得：-b2a2二-12,所以a2=2b2.又a2二b2+9,所以b2=9,a2二18,選D.例3（2013年高考全國新課標(biāo)卷II（理科）笫20題第（1）問）平面直角坐標(biāo)系xOy中,過橢圓M：x2a2+y2b2二1（a>b

6、>0）右焦點的直線x+y-3二0交M于A,B兩點，P為AB的中點，且0P的斜率為12.求M的方程.解析由結(jié)論4得，-b2a2=12X（-1）,所以a2=2b2.乂直線x+y-3二0過焦點（c,0）,所以c二3,即a2-b2=3,所以a2=6,b2=3,點M的軌跡方程為x26+y23二1.例4（2013年高考北京卷（理科）第19題第（2）問）已知A、B、C是橢圓肌x24+y2二1上的三個點，0是坐標(biāo)原點?當(dāng)點B不是W的頂點時，判斷四邊形OABC是否可能為菱形，并說明理由.解析四邊形OABC不可能為菱形?理由如2假設(shè)四邊形OABC為菱形，則對和線0B與AC互相垂直且平分于點M,于是k

7、OB?kAC=-l.又由結(jié)論4知，kOM?kAC=-14.因為kOM=kOB,所以k()B?kAC二-14?因為-14工-1,所以假設(shè)不正確?所以當(dāng)點B不是W的頂點時,四邊形OABC不可能為菱形.例5(2013年山東卷(理科)壓軸題)橢圓C：x2a2+y2b2二1(a>b>0)的左、右焦點分別是Fl,F2,離心率為32,過F1且垂直于x軸的直線被橢圓C截得的線段長為1.(1)求橢圓C的方程；(2)點P是橢圓C上除長軸端點外的任一點，