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《待定系數(shù)法求特殊數(shù)列的通項(xiàng) 公式》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在應(yīng)用文檔-天天文庫(kù)。
1、待定系數(shù)法求特殊數(shù)列的通項(xiàng)公式靖州一中 蔣利在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，經(jīng)常碰到一些特殊數(shù)列求通項(xiàng)公式，而這些問(wèn)題在高考和競(jìng)賽中也經(jīng)常出現(xiàn)，是一類廣泛而復(fù)雜的問(wèn)題，歷屆高考常以這類問(wèn)題作為一道重大的試題。因此，在教學(xué)中，針對(duì)這類問(wèn)題，提供一些特殊數(shù)列求通項(xiàng)公式范例，幫助同學(xué)們?nèi)嬲莆者@類問(wèn)題及求解的一般方法。 求數(shù)列的通項(xiàng)公式，最為廣泛的的辦法是：把所給的遞推關(guān)系變形，使之成為某個(gè)等差數(shù)列或等比數(shù)列的形式，于是就可以由此推得所給數(shù)列的通項(xiàng)公式。求解的關(guān)健在于變形的技巧，而變形的技巧主要在于引進(jìn)待定系數(shù)。其基本原理是遞推關(guān)系兩邊加上相同的數(shù)或相同性質(zhì)的量，構(gòu)造數(shù)列的每一項(xiàng)都加上相
2、同的數(shù)或相同性質(zhì)的量，使之成為等差或等比數(shù)列。具體的求解過(guò)程詳見(jiàn)示例。第一類別：an=Aan-1+B例1設(shè)x=2,且x=5x+7.求數(shù)列的通項(xiàng)公式解：所給的遞推公式可變形為x+m=5x+7+m=5(x+),令m=.則m=于是x+=5(x+)，{x+}是等比數(shù)列，其首項(xiàng)為x+=,公比為q=5.于是x+＝·5所以 x＝·5－例2設(shè)x1=1,且xn=（n=2，3，4，…）求數(shù)列｛xn｝的通項(xiàng)公式解：所給的遞推公式可變?yōu)椋?令m=,則m=1于是。{}是等比數(shù)列，其首項(xiàng)是=2,公比是q=于是=2（）n-1。所求的xn=第二類別：an=Aan-1+Ban-2例3設(shè)x1=1，x2=
3、5,xn=13xn-1-22xn-2,（n=3,4,…）求數(shù)列｛xn｝的通項(xiàng)公式解：所給的遞推公式可變?yōu)閤n+mxn-1=（m+13）xn-1-22xn-2=（m+13）（xn-1-xn-2）令m=-，則m=－2,或m=－11于是xn-2xn-1=11（xn-1-xn-2）,xn-11xn-1=2(xn-1-xn-2)｛xn-2xn-1｝，｛xn-11xn-1｝都是等比數(shù)列，其首項(xiàng)與公比分別為x2-2x1=3,q=11。X2-11x1=-6,q=2。于是xn-2xn-1＝3·11n-2，xn-11xn-1=-6·2n-2。由此消去xn-1可得xn=(11n-1+2n)
4、/3例4：設(shè)x1=1,x2=2。且xn=7xn-1+18xn-2（n=3,4,…）求數(shù)列｛xn｝的通項(xiàng)公式解：所給的遞推公式可變?yōu)閤n+mxn-1=(m+7)xn-1+18xn-2=(m+7)(xn-1+xn-2)令m=，則m=2,或m=-9xn+2xn-1=9(xn-1+2xn-2),xn-9xn-1=-2(xn-1-9xn-2)｛xn+2xn-1｝與｛xn-9xn-1｝都是等比數(shù)列，其首項(xiàng)與公比分別為x2+2x1=4，q=9。X2-9x1=-7，q=-2xn+2xn-1=4·9n-2，xn-9xn-1=-7(-2)n-2由此消去xn-1可得xn=（4·9n-1+7
5、·(-2)n-1）/11第三類別：an=Aan-1+f(n)例5設(shè)x1=1，且xn=3xn-1＋5n＋1（n=2,3,…）……（1）求數(shù)列｛xn｝的通項(xiàng)公式解：x2=14，于是（1）把n改成n-1得xn-1=3xn-2＋5(n-1)＋1………（2）兩式相減得xn-xn-1=3(xn-1-xn-2)+5xn-xn-1+m=3(xn-1-xn-2)+5+m=3(xn-1-xn-2+)令m=,則m=。于是xn-xn-1+=3(xn-1-xn-2+)｛xn-xn-1+｝是等比數(shù)列，其首項(xiàng)為x2-x1+=,其公比q=3。于是xn-xn-1+=·3n-2………（3）由（1）與（3
6、）消去xn-1得xn=(31·3n-1-10n-17)/4例6：設(shè)x1=4，且xn=5xn-1＋7n－3（n=2,3,……）……（1）求數(shù)列｛xn｝的通項(xiàng)公式方法1解：x2=31,于是（1）把n改成n-1得xn-1=5xn-2＋7(n-1)－3………（2）兩式相減得xn-xn-1=5(xn-1-xn-2)＋7xn-xn-1＋m=5(xn-1-xn-2)＋7＋m=5(xn-1-xn-2＋)令m=,則m=。xn-xn-1+=5(xn-1-xn-2＋)｛xn-xn-1+｝是等比數(shù)列，其首項(xiàng)為x2-x1+=,其公比q=5。于是xn-xn-1+=·5n-2……（3）由（1）與（
7、3）消去xn-1得xn=(23·5n-28n-23)方法2：所給的遞推公式可變?yōu)閤n＋An＋B=5(xn-1＋)設(shè)A(n-1)＋B=比較系數(shù)得A=，-A+B=由此求得A=，B=。于是xn＋=5(xn-1＋)，于是｛xn＋｝是等比數(shù)列，其首項(xiàng)為x1+=,其公比q=5。于是xn＋=·5n-1所以 xn=(23·5n-28n-23)例7，設(shè)x1=2,且xn=3xn-1＋2n2＋1，求數(shù)列｛xn｝的通項(xiàng)公式解：所給的遞推公式可變?yōu)閤n＋An2＋Bn＋C=3(xn-1＋)設(shè)A(n-1)2＋B(n-1)＋C=比較系數(shù)得：A=，-2A+B=，A-B+C=。由此求
