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1、待定系數(shù)法求特殊數(shù)列的通項(xiàng)公式靖州一中蔣利在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，經(jīng)常碰到一些特殊數(shù)列求通項(xiàng)公式，而這些問題在高考和競賽中也經(jīng)常出現(xiàn)，是一類廣泛而復(fù)雜的問題，歷屆高考常以這類問題作為一道重大的試題。因此，在教學(xué)中，針對這類問題，提供一些特殊數(shù)列求通項(xiàng)公式范例，幫助同學(xué)們?nèi)嬲莆者@類問題及求解的一般方法。求數(shù)列的通項(xiàng)公式，最為廣泛的的辦法是：把所給的遞推關(guān)系變形，使之成為某個(gè)等差數(shù)列或等比數(shù)列的形式，于是就可以由此推得所給數(shù)列的通項(xiàng)公式。求解的關(guān)健在于變形的技巧，而變形的技巧主要在于引進(jìn)待定系數(shù)。其基本原理是遞推關(guān)系兩邊加上相同的
2、數(shù)或相同性質(zhì)的量，構(gòu)造數(shù)列的每一項(xiàng)都加上相同的數(shù)或相同性質(zhì)的量，使之成為等差或等比數(shù)列。具體的求解過程詳見示例。第一類別：an=Aan-1+B例1設(shè)x=2,且x=5x+7.求數(shù)列的通項(xiàng)公式1nn1解：所給的遞推公式可變形為7m7m7xn+m=5xn1+7+m=5(xn1+),令m=.則m=55554777于是xn+=5(xn1+)，{xn+}是等比數(shù)列，其首項(xiàng)為444715715n1x+=,公比為q=5.于是x+＝·51n444415n17所以xn＝·5－443xn1例2設(shè)x1=1,且xn=（n=2，3，4，?）2xn15
3、求數(shù)列｛xn｝的通項(xiàng)公式152解：所給的遞推公式可變?yōu)椋簒n3xn13....15123m23mm(),令m=,則m=1xn3xn155551511于是1(1)。{1}是等比數(shù)列，xn3xn1xn15其首項(xiàng)是1=2,公比是q=x13n115n-13于是1=2（）。所求的xn=n1n1xn3253第二類別：an=Aan-1+Ban-2例3設(shè)x1=1，x2=5,xn=13xn-1-22xn-2,（n=3,4,?）求數(shù)列｛xn｝的通項(xiàng)公式解：所給的遞推公式可變?yōu)?2xn+mxn-1=（m+13）xn-1-22xn-2=（m+13
4、）（xn-1-xn-2）m1322令m=-，則m=－2,或m=－11m13于是xn-2xn-1=11（xn-1-xn-2）,xn-11xn-1=2(xn-1-xn-2)｛xn-2xn-1｝，｛xn-11xn-1｝都是等比數(shù)列，其首項(xiàng)與公比分別為x2-2x1=3,q=11。X2-11x1=-6,q=2。n-2n-2于是xn-2xn-1＝3·11，xn-11xn-1=-6·2。n-1n由此消去xn-1可得xn=(11+2)/3例4：設(shè)x1=1,x2=2。且xn=7xn-1+18xn-2（n=3,4,?）求數(shù)列｛xn｝的通項(xiàng)公式
5、解：所給的遞推公式可變?yōu)?8xn+mxn-1=(m+7)xn-1+18xn-2=(m+7)(xn-1+xn-2)m718令m=，則m=2,或m=-9m7xn+2xn-1=9(xn-1+2xn-2),xn-9xn-1=-2(xn-1-9xn-2)｛xn+2xn-1｝與｛xn-9xn-1｝都是等比數(shù)列，其首項(xiàng)與公比分別為x2+2x1=4，q=9。X2-9x1=-7，q=-2n-2n-2xn+2xn-1=4·9，xn-9xn-1=-7(-2)....n-1n-1由此消去xn-1可得xn=（4·9+7·(-2)）/11第三類別：a
6、n=Aan-1+f(n)例5設(shè)x1=1，且xn=3xn-1＋5n＋1（n=2,3,?）??（1）求數(shù)列｛xn｝的通項(xiàng)公式解：x2=14，于是（1）把n改成n-1得xn-1=3xn-2＋5(n-1)＋1???（2）兩式相減得xn-xn-1=3(xn-1-xn-2)+55mxn-xn-1+m=3(xn-1-xn-2)+5+m=3(xn-1-xn-2+)335m555令m=,則m=。于是xn-xn-1+=3(xn-1-xn-2+)332225｛xn-xn-1+｝是等比數(shù)列，2531其首項(xiàng)為x2-x1+=,其公比q=3。22531
7、n-2于是xn-xn-1+=·3???（3）22由（1）與（3）消去xn-1得n-1xn=(31·3-10n-17)/4例6：設(shè)x1=4，且xn=5xn-1＋7n－3（n=2,3,??）??（1）求數(shù)列｛xn｝的通項(xiàng)公式方法1解：x2=31,于是（1）把n改成n-1得xn-1=5xn-2＋7(n-1)－3???（2）兩式相減得xn-xn-1=5(xn-1-xn-2)＋77mxn-xn-1＋m=5(xn-1-xn-2)＋7＋m=5(xn-1-xn-2＋)57m777令m=,則m=。xn-xn-1+=5(xn-1-xn-2＋)
8、544477115｛xn-xn-1+｝是等比數(shù)列，其首項(xiàng)為x2-x1+=,4447115n-2其公比q=5。于是xn-xn-1+=·5??（3）44由（1）與（3）消去xn-1得1nxn=(23·5-28n-23)16方法2：所給的遞推公式可變?yōu)?...AnB7n3xn＋An＋B=5(xn-1＋)55A
