斐波那契數(shù)列研究

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1、斐波那契數(shù)列研究一、斐波那契生平斐波那契（1175年-1250年），意大利數(shù)學(xué)家，西方第一個研究斐波那契數(shù)，并將現(xiàn)代書寫數(shù)和乘數(shù)的位值表示法系統(tǒng)引入歐洲。有感使用阿拉伯?dāng)?shù)字比羅馬數(shù)字更有效，斐波那契前往地中海一帶向當(dāng)時著名的阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)家學(xué)習(xí)，約于1200年回國。1202年，27歲的他將其所學(xué)寫進計算之書。這本書通過在記帳、重量計算、利息、匯率和其他的應(yīng)用，顯示了新的數(shù)字系統(tǒng)的實用價值。這本書大大影響了歐洲人的思想，可是在三世紀(jì)后印制術(shù)發(fā)明之前，十進制數(shù)字并不流行。歐洲數(shù)學(xué)在希臘文明衰落之后長期處于停滯狀態(tài)，直到12世紀(jì)才有復(fù)蘇的跡象。這種復(fù)蘇開始是受了

2、翻譯、傳播希臘、阿拉伯著作的刺激。對希臘與東方古典數(shù)學(xué)成就的發(fā)掘、探討，最終導(dǎo)致了文藝復(fù)興時期（15?16世紀(jì)）歐洲數(shù)學(xué)的高漲。文藝復(fù)興的前哨意大利，由于其特殊地理位置與貿(mào)易聯(lián)系而成為東西方文化的熔爐。意大利學(xué)者早在12?13世紀(jì)就開始翻譯、介紹希臘與阿拉伯的數(shù)學(xué)文獻。歐洲，黑暗時代以后第一位有影響的數(shù)學(xué)家斐波那契，其拉丁文代表著作《算經(jīng)》、《幾何實踐》等也是根據(jù)阿拉伯文與希臘文材料編譯而成的，斐波那契，早年隨父在北非從師阿拉伯人習(xí)算，后又游歷地中海沿岸諸國，回意大利后即寫成《算經(jīng)》?！端憬?jīng)》最大的功績是系統(tǒng)介紹印度記數(shù)法，影響并改變了歐洲數(shù)學(xué)的面貌。

3、現(xiàn)傳《算經(jīng)》是1228年的修訂版，其中還引進了著名的“斐波那契數(shù)列”?！稁缀螌嵺`》則著重敘述希臘幾何與三角術(shù)。斐波那契其他數(shù)學(xué)著作還有《平方數(shù)書》、《花朵》等，前者專論二次丟番圖方程，后者內(nèi)容多為菲德里克二世宮廷數(shù)學(xué)競賽問題，斐波那契論證其根不能用尺規(guī)作出，他還未加說明地給出了該方程的近似解。微積分的創(chuàng)立與解析幾何的發(fā)明一起，標(biāo)志著文藝復(fù)興后歐洲近代數(shù)學(xué)的興起。微積分的思想根源部分（尤其是積分學(xué)）可以追溯到古代希臘、中國和印度人的著作。在牛頓和萊布尼茨最終制定微積分以前，又經(jīng)過了近一個世紀(jì)的醞釀。二、《算盤原理》《算盤原理》中的“算盤”并非僅僅指羅馬算

4、盤或某種計算工具。而是指一般的計算。全書共分為十五章。前7章介紹了位值制原理。整數(shù)和分?jǐn)?shù)的各種計算方法，以及各種數(shù)表；8-12章以各種商業(yè)問題為例給出了許多算數(shù)的應(yīng)用；第13章論述了比例和試位法；第14章講述開方法則；最后一章則涉及到幾何和代數(shù)問題。在其1228年的修訂本中，又加進去有趣的“兔子問題”和著名的斐波那契數(shù)列:1,1,2,3,5,8,13,21,,從第三項開始每一項是前兩項的和?！端惚P原理》是向歐洲介紹印度一阿拉伯?dāng)?shù)碼和阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)的最早著作，自問世后廣為流傳，為印度一阿拉伯?dāng)?shù)碼和阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)在歐洲傳播起了重要的作用，對歐洲數(shù)學(xué)的發(fā)展產(chǎn)生了巨大

5、的促進作用。三、斐波那契數(shù)列數(shù)列及其推導(dǎo)公式斐波那契數(shù)列指的是這樣一個數(shù)列：1、1、2、3、5、8、13、21、這個數(shù)列從第三項開始，每一項都等于前兩項之和。斐波那契數(shù)列通項公式通項公式注：此時a1=1,a2=1,an=a(n-1)+a(n-2)(n＞二3,nWN*)通項公式的推導(dǎo)斐波那契數(shù)列：1、1、2、3.5、8、13、21.……如果設(shè)F(n)為該數(shù)列的第n項(neN+)o那么這句話可以寫成如下形式：F(0)=0,F⑴=1,F(n)=F(n-1)+F(n-2)(心2),顯然這是一個線性遞推數(shù)列。方法一：利用特征方程(線性代數(shù)解法)線性遞推數(shù)列的特征

6、方程為：X2X+1解得X1=(1+V5)/2,,X2=(1-75)/2則F(n)=C1*xrn+C2*X2"nVF(1)=F(2)=1???C1*X1+C2*X2C1*X廣2+C2*X2"2解得C1=V5/5,C2=-V5/5AF(n)=(V5/5)*{[(1+75)/21"n-[(1-75)/2]^}方法二：待定系數(shù)法構(gòu)造等比數(shù)列1(初等代數(shù)解法)設(shè)常數(shù)r,s使得F(n)-r*F(n-1)=s*[F(n-1)-r*F(n-2)]則r+s=1,-rs=1n$3時，有F(n)-r*F(n-1)=s*[F(n—1)—r*F(n-2)]F(n~1)~r*F(

7、n-2)=s*[F(n-2)-r*F(n-3)]F(n-2)-r*F(n-3)=s*[F(n-3)-r*F(n-4)]F(3)-r*F(2)=s*[F(2)-r*F(1)]聯(lián)立以上n-2個式子，得F(n)-r*F(n-1)=[s“(n-2)]*[F(2)-r*F(1)]Vs=1-r,F(1)=F⑵=1上式可化簡得：F(n)=s"(n-1)+r*F(n-1)那么：F(n)=s"(n-1)+r*F(n-1)=s'(n-1)+r*s"(n-2)+廠2*F(n-2)=s"(n-1)+r*s"(n-2)+r"2*s"(n-3)+r"3*F(n-3)=s"(n-1

8、)+r*s"(n-2)+r"2*s"(n-3)++r八(n-2)*s+r^(n-1)*F(1)