李國臻小課題研究材料

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1、二o——年數(shù)學(xué)小課題研究題目:鐘表中的數(shù)學(xué)初探學(xué)校：安丘市吾山中學(xué)課題研究方案課題名稱鐘表中的數(shù)學(xué)初探班級11■課題組成員徐會杰、于興勝加劉霞霞組長徐會杰指導(dǎo)李國臻教師韓軍芳課題的背景和目的意義木課題是在學(xué)完弧長和扇形面積的計算，及我們已經(jīng)知道鐘表中時針與分針的夾角及度數(shù)等基礎(chǔ)上，老師讓我們通過對鐘表中存在的數(shù)學(xué)知識進(jìn)行深入探索，使我們能從中發(fā)現(xiàn)一些課本上沒有的現(xiàn)象和規(guī)律，從而達(dá)到學(xué)數(shù)學(xué)、用數(shù)學(xué)的目的，并激發(fā)我們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的更大的興趣。研究內(nèi)容和步驟內(nèi)容：老師提出了兩個問題：1、不知你是否觀察過鐘表上的吋針和分針，它們總是成一定角度。那么，你是否知道它們什么吋候重合？什么時候成一條直線？什么時候

2、成直角？其中有什么規(guī)律？2、如果你的表不準(zhǔn)，你是否可以根據(jù)它來判斷其他人的表準(zhǔn)不準(zhǔn)呢？步驟：第一個問題，小組成員討論后分別計算，得出共識。第二個問題，小組成員共同解決。然后把兩個問題得出的過程及方法匯報給指導(dǎo)老師，錯誤的地方有老師指導(dǎo)我們更正。成員分工徐會杰為組長，準(zhǔn)備一個鐘表，協(xié)調(diào)組內(nèi)成員的研究過程，并發(fā)揮帶頭作用，于興勝、劉霞霞為組員，共同研究小課題。預(yù)期成果論文學(xué)生論文結(jié)題時間2011年12月14日學(xué)校意見蓋章簽字：吋間：教管辦意見蓋章簽字：吋間：探探探探探※【題口】鐘表中的數(shù)學(xué)初探探【止文】探探探【執(zhí)筆人】徐會杰探探探探探鐘表中的數(shù)學(xué)初探一.提出問題老師：同學(xué)們，我們每天的日常生活都離

3、不開表，但是你們知道表中還隱藏著什么樣的有趣的數(shù)學(xué)知識嗎?問題一:不知你是否觀察過鐘表上的時針和分針，它們總是成一定角度。那么，你是否知道它們什么時候重合？什么時候成一條直線？什么時候成直角？其中有什么規(guī)律？問題二：表是用來反映時間的工具，但如果你的表不準(zhǔn)，你是否可以根據(jù)它來判斷其他人的表準(zhǔn)不準(zhǔn)呢？二、研究過程學(xué)生小組成員三人：于興勝、徐會杰、劉霞霞問題一：三人合作探究的首要結(jié)論：這類問題實際上是分針追時針的追⑴?兩針重合時的位置我們知道兩表針在12:00時會重合（如圖一），設(shè)下一次重合位置為圖二,時針走過的路程用黃線表示，分針走過的路程用紅線+棕紅線表示，追及路程S為綠線所示，恰為一周。我們

4、知道兩表針在12:00時會重合（如圖一），設(shè)下一次重合位置為圖二，時針走過的路程用黃線表示，分針走過的路程用紅線+棕紅線表示，追及路程S為綠線所示，恰為一周。解法一：解法一：（徐會杰）取鐘表上的一小格（即一分鐘）為單位路程，則S=60（格）％=右（格/分）兀廠罟=65春（分）1_12解法二：（于興勝）取鐘表上的一大格（即一小時）為單位路程，則S=12（格）％=12（格/時）V2=l（格/時）亦旦丄（時）山12-11111=1丄x60=65—（分）1111小組成員歸納:1、根據(jù)以上計算，每隔65亓分時針和分針重合一次。2、在一天中它們重合的次數(shù)^=24x60=次720TT3、它們的位置分別是：1

5、:5—,112:10,0,113:16—,114:21—,115:27—,116:32—,7:381127tt?8:43h>9:49—,1110:54—,1112:00,13:5—,1114:10—,11415:16—,11916:21—,11QQ7717:27—,18:32—,19:38—,20:43—,1111111121:49丄，22:54—,24:001111（2）?兩針成一線時的位置（劉霞霞）兩表針在6:00時會成與一線（如圖三），設(shè)下一次成一線的位置為圖四，時針走過的路程與分針走過的路程之和，恰好為一周，因此，此問題的解答與（1）完全類似。即每隔分時針和分針成一線，一天內(nèi)表針將22

6、次成一線。（3）?兩針垂直時的位置兩表針在3:00時垂直（如圖五），設(shè)下一次垂直的位置為圖六，時針走過的路程用黃線表示，分針走過的路程用紅線表示，追及路程S為綠線所示。由于藍(lán)角與綠角互余，紅角也與綠角互余，所以，紅角二藍(lán)角，故圖中兩黃線部分相等。因此，追及路程恰好為半周。方法一：（于興勝）取鐘表上的一小格（即一分鐘）為單位路程，則S=30（格）V,=1（格/分）2呂（格/分）丄J2&二畔=32普（分）12方法二：（于興勝、徐會杰）將時針看作是不動的，分針以相對時針的速度（二者的速度差）追及時針。兩表針在3:00時垂直（如圖五），下一次垂直的位置為圖六，分針走過的路程用綠線表示，這也就是追及的路

7、程S,恰好為圓周的半圈。解：取鐘表上的一小格（即一分鐘）為單位路程，則S=30（格）％=1二（格/分）v2=0（格/分）3036012十）當(dāng)兩針再次重合時，又回到圖五的情況，因此每隔32春分兩針相互垂直24x60在一天中它們垂直的次數(shù)為帀廠=44（次）TT它們的位置分別是：QC23:00，3:32—，4:5—,4:38—，II11115:10—,5:43—,6:16—,6:49丄，11111111