邊值問題的研究

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1、西北農(nóng)林科技大學(xué)理學(xué)院應(yīng)用數(shù)學(xué)系《微分方程數(shù)值解》結(jié)課論文論文題目邊值問題的研究2016年1月14日一?問題重述對于下列邊值問題:["（o）=u（iy=o其中A為學(xué)號的倒數(shù)第2位，B為學(xué)號的倒數(shù)第1位。⑴差分：截斷誤差、穩(wěn)定性、收斂半徑、遞推（隱式）或方程組（顯式）（2）有限元：岡！J度矩陣、算法步驟及代碼二?問題分析題目明確指出使用差分方法和有限元解法。什么都不管先構(gòu)造一種差分格式,然后對求解區(qū)域做劃分將問題離散化，從微分方程的定解問題轉(zhuǎn)化為求線性代數(shù)方程的解，以便于能夠使用計算機(jī)進(jìn)行計算。在這里選用的是中心差分法，同時將邊界進(jìn)行處理”同時用Ritz有限元法和Galerkin法有限元

2、法嘗試去得到結(jié)果，最后再去比較兩種解法所得到結(jié)果的精確性，分析相容性和截斷誤差等等。三?解題過程1?首先建立差分格式/考慮兩點(diǎn)的邊值問題/由題目知道〃=1,g=0J（兀）=9*x+7建立中心差分格式如下(1.1)(1.2)Lu=一-{p—)+qu=

3、=^(G+xJ(i=l,2,???,N)，稱為半整數(shù)點(diǎn)。由節(jié)點(diǎn)a=x0

4、階微商的結(jié)果。這個方程就是中心差分格式。式(1.4)用方程組展開：卞內(nèi)2%+?fe+幾2)+911坷尹P3/2l{2=f帀Pk-/2Uk-+?(以+1/2+必一1/2)+如Uk以+1/2色+1=/1力2Pn—31州一2+L喬(Pn—I/2+Pn—3/2)+弘一1]%N—1—護(hù)Pn~vVn=/n~這是一個以嗎川2，……，3為未知量的線性方程組。到此為止,中心差分格式展開完畢，接下來處理方程(1.1)將方程(1.1)在節(jié)點(diǎn)離散化”由泰勒公式展開得:弘(兀+1)-2“(托)+班兀1)h2+t/2w(x)dx2°”)所以截斷誤差為下一步是分析差分格式的穩(wěn)定性差分格式的截斷誤差:。（臚）

5、，而邊界條件的截斷誤差為0（/2）收斂性和穩(wěn)定性是從不同角度討論差分法的精確情況，穩(wěn)定性主要是討論初值的誤差和計算中的舍入誤差對計算結(jié)果的影響，收斂性則主要討論推算公式引入的截斷誤差對計算結(jié)果的影響?使用既收斂有穩(wěn)定的差分格式才有比較可靠的計算結(jié)果,這也是討論收斂性和穩(wěn)定性的重要意義.截斷誤差:厶心）-［如,即h2-（心）一ww）=-—?（4）（久），-丘［兀心，陥1］12差分方程組的解％滿足：%

6、

7、0

8、}+*（心-°）⑺-xlfl）凜幼九

9、,加=1,2,…,N-1其中a、b代表邊界點(diǎn)，°、“代表邊界點(diǎn)的取值。U（h2max小4）（兀）

10、,加=1,2,…，N_1上式給出了

11、差分方程的解的誤差估計，而且表明當(dāng)差分解收斂到原邊值問題的解，收斂速度為力2。2接下來是有限元的解法從Ritz法出發(fā)，單元剛度矩陣為：df1=[MJP（Xi+力g）+如（兀_1+/話）（1-b]〃歹，1pg+hQ+%qg+姑）F]dg,=421=[[一庫"（兀?]+/zg）+hqg+/話）§（1-g）]dg.按規(guī)則組裝成總剛度矩陣K=2K⑴。/=1令訃其中理f[/（S+姑）（1—幻百，/⑴訥打（和+滋疋時，以及b=（%E，…也y,勺=嚴(yán)+齊⑵上2=0+爐，…心=/化則有限元方程為Ku=b.從Galerkin有限元法岀發(fā),Galerkin有限元方程為：乞i@,（p）i”=（f（Pjdx,

12、j=,2,???，m/=1系數(shù)矩陣第j行只有三個非零元素，即M（pj_、（p）=][一力7卩（兮.]+/?/）+/?卅（廠_]+hg）（l-g）g]dg,d（%0/）=[吋?一i+力&）+切（切+忙）鬥d$+[[硝0（?+勺詁）+/如qg+包詁）（1-§門州，a?z（p）=][-/詁“（?+/2田歹）+你禺（?+勺+g）（l-g）g]dg,這里丿?=2,3,…,〃-1.第一行只有兩個非零元素：,?）,a?、,0）?第n行只有兩個非零元素：和