【精品】判別分析

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1、判別分析假設(shè)冇R個(gè)總體，判別分析就是根據(jù)某個(gè)個(gè)體的觀察值來(lái)推斷該個(gè)體是來(lái)自這R個(gè)總體中哪一個(gè)總體。下面的例子說(shuō)明判別分析有著廣泛的應(yīng)用。（1）根據(jù)已有的氣象資料，如氣溫、氣壓等判斷明天是晴天還是陰天，是有用還是無(wú)陽(yáng)。明天的天氣情況是未來(lái)的行為。因?yàn)槭俏磥?lái)行為，難以得到它的完全信息。已有的氣象資料僅是它的一部分信息?；谖磥?lái)行為的不完全信息對(duì)未來(lái)行為進(jìn)行預(yù)測(cè)是判別分析的一個(gè)應(yīng)用。（2）在非洲發(fā)現(xiàn)了一種頭蓋骨化石，考古學(xué)家耍研究它究竟是像猿（如黑猩猩）還是像人。倘若研究對(duì)彖是活的，就能對(duì)他進(jìn)行各方面的觀察，冇充足乃金完全的信息。但研究對(duì)象早就死了，他的很多重要信息

2、都丟火了。考古學(xué)家只能根據(jù)不完全信息，如牙齒的長(zhǎng)寬來(lái)進(jìn)行判斷。當(dāng)信息丟失后，對(duì)過(guò)去的行為進(jìn)行判斷是判別分析的另一個(gè)應(yīng)用。（3）冇時(shí)人們難以得到完全的信息，這里冇兩種情況。情況Z—是信息完全只能來(lái)自破壞性試驗(yàn)。例如，汽車(chē)的壽命只有在把它用壞Z后才知道。一般地，希坯根據(jù)一些測(cè)屋指標(biāo)（如零部件的性能）就能事先對(duì)汽車(chē)的壽命作出判斷。情況Z二是獲得完全信息的代價(jià)太高。例如，有些疾病可用代價(jià)昂貴的檢査或通過(guò)于?術(shù)得到確診。但人們往往更希望用便于觀察得到的一些外部癥狀來(lái)診斷體內(nèi)的疾病，以避免過(guò)大的開(kāi)支和損失。在完全信息難以得到吋，對(duì)行為判斷是判別分析的乂一?格應(yīng)用。止因?yàn)榕?/p>

3、別分析是基于不完全信息作出的判斷，它就不可避免地會(huì)犯錯(cuò)誤，一個(gè)好的判別法則錯(cuò)判的概率應(yīng)很小。除了錯(cuò)判概率，在判別分析問(wèn)題中還應(yīng)考慮費(fèi)用，一個(gè)好的判別法則錯(cuò)誤的損失應(yīng)很小。關(guān)于判別法則優(yōu)良性的討論從略。判別分析問(wèn)題的描述：設(shè)有R個(gè)加維總體G

4、,G2,…,其分布特征己知（如己知分布函數(shù)分別為片（0,耳（0,…,心（兀），或知道來(lái)自各個(gè)總體的訓(xùn)練樣本）。對(duì)給定的一個(gè)新樣品X,我們要判斷它來(lái)白哪個(gè)總體。在進(jìn)行判別歸類(lèi)時(shí)，由假設(shè)的前提，判別的依據(jù)及處理的手法不同，可得出不同判別方法。如距離判別，貝葉斯（Bayes）判別，費(fèi)希爾（Fisher）判別，逐步判別，序貫判別等。

5、5.1距離判別距離判別的基本思想是：樣品和哪個(gè)總體距離最近，就判斷它屬哪個(gè)總體。距離判別也稱(chēng)為直觀判別法。一、馬氏距離定義5.1.1（馬氏距離）設(shè)總體G為加元總體（考察加個(gè)指標(biāo)），均值向量為“=（“,???,血）'，協(xié)方差陣為Z=（＜7/y），則樣品X=（坷,兀Q與總體G的馬氏距離定義為當(dāng)加=1時(shí),dSG）"“）丫-嘰=。二、兩總體的距離判別先考慮兩個(gè)總體伙=2）的情況。設(shè)有兩個(gè)總體G

6、和G?,已知來(lái)AGr.（z=l,2）的訓(xùn)練樣本為X:；］=（巧）,馬），…,球］）（心1,2;r=1,2,…心）其中％是取口G,的樣品個(gè)數(shù)，則總體G,的均值向量門(mén)⑴的估計(jì)量為總

7、體G,?的協(xié)方差紜的估計(jì)S,寸弟m.?勸（稱(chēng)為組內(nèi)協(xié)方差陣）為Sj=A=（s；）Z；IXW1坷_1其中A=2Z（x器-乂⑴）（x^-x（/）y稱(chēng)為組內(nèi)離差陣;即=丄7H（瑞-球））（瑞-球））'aj=1,…,加）#1?"~X當(dāng)假定Z（=Z22工時(shí)，反應(yīng)分散性的協(xié)方差陣工的估計(jì)為Jks—工A=（%）”"并稱(chēng)S為合并樣本協(xié)方差陣，其中12W%=宀￡￡（瑞-礦）（瑞）-球））（/八1,…沖）介_(kāi)kt=/=i問(wèn)題是對(duì)任給的加維樣品X要判斷它來(lái)自哪個(gè)總體。1、S1=Z2時(shí)的判別方法一個(gè)最冑觀的想法是，分別計(jì)算樣品X到兩個(gè)總體的距離d：（X）和d；（X）,并按距離最近準(zhǔn)

8、則判別歸類(lèi)，判別準(zhǔn)則為：J判Xgq,當(dāng)〃2（x,GJvJ2（X,G2）H'J-［判XwG］,當(dāng)d2（x,Gjnd2（x,G2）時(shí)GG,XX判判判待久當(dāng)滬(X,GJ＜滬(X,G2)吋G「當(dāng)d2(X,GJvd"x,G2)時(shí)當(dāng)d2(X,GJ=d"X,G2)吋這里的距離是指馬氏距離。利用馬氏距離的定義及兩總體協(xié)方差陣相等的假設(shè)，可以簡(jiǎn)化馬氏距離的計(jì)算公式：〃2(xg)=(X-x(i)ys~x一乂⑴)=x's~[x-2[(s~'x(i)yx-^(x(i)ys-]x(i)]=X$」X-2Yj(X)(i=1,2)其中乙(X)是X的線(xiàn)性函數(shù)。對(duì)給定樣品X,為計(jì)算X到各種總體

9、的馬氏距離，只須計(jì)算乙(X)：何心"一押忱忻0-=1,2)乙(X)稱(chēng)為線(xiàn)性判別函數(shù)，①二S"乂⑴稱(chēng)為判別系數(shù)向量，5=-(X(/)),5-1X0)(i=1,2)稱(chēng)為常數(shù)項(xiàng)。若考察這兩個(gè)馬氏距離之差，經(jīng)計(jì)算可得：曲)-曲)=2(1*(刖+壬⑵)計(jì)(0"吩2咋)其中W(X)=(X—(乂⑴—乂⑵)，X*=l(x(1)+乂⑵)。則判別準(zhǔn)則還可以寫(xiě)為：J判XwG

10、,當(dāng)W(X)〉O時(shí)[判XgG2,當(dāng)W(X)S0時(shí)W(X)是X的線(xiàn)性函數(shù)，叩W(X)=d'(X—X],其中a=S"(乂⑴一乂⑵)。w(x)也稱(chēng)為線(xiàn)性判別函數(shù)，。為判別系數(shù)。W(X)把加維空間R"劃分為兩部分:D{

11、={X:W(X)>0}和￡>2={X: