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1、拋物線的定值問題◎李遠敬（遼寧省本溪市機電工程學校117022）【摘要】在長期的教學中，筆者經常會遇到或想到圓錐曲線的一些定值問題，學生們也需要教師給予解答和總結，筆者精選了拋物線十個定值問題，供師生們參考?！娟P鍵詞】拋物線；定值；焦點。1.過拋物線焦點的直線與此拋物線交于兩點，則（1）（定值），（2）（定值），（3）（定值）。（請讀者自證）2.已知AB是過拋物線焦點F的動弦。求證：（定值）。證明：設A()、B()，直線AB的方程為。當不存在時，。當存在時，由得則=====3過拋物線焦點F的兩條相
2、互垂直的弦AB和CD,則=（定值）。證明：設A()、B()、C()、D)，由上題得（1）ABCD由（1）可得=（2）====同理=2.==。4.設MN是過拋物線焦點F的動弦。由M、N分別向拋物線的準線作垂線MA、NB,其中A、B是垂足。求證：AFB=(定值)。證明：設,N(),則A),B,F.,==0.FAFBAFB=。5.過點P作直線交拋物線于、兩點，交軸于點，若,＝,求證：﹢﹦﹣1（定值）證明見第6題，令。6.過點P作直線交拋物線于、兩點，交直線于點，若,＝,求證：﹢﹦-1-（定值）.證明：設
3、A()，B()，M()，則由，即（）=，得=-1，同理得。所以=-2（*）拋物線方程與直線的方程聯立,列方程組得則（3）因M()在（2）上，所以，得（4）將（3）（4）代人（*）中，得=-1-.7．設F是拋物線的焦點，A、B、C是拋物線上的三點，﹢﹢﹦0。則∣∣﹢∣∣﹢∣∣﹦3（定值）.證明：設、、是A、B、C三點的橫坐標。因為﹢﹢﹦0所以拋物線焦點F是△ABC的重心。故（1）∣∣=，∣∣=，∣∣（2）由（1）（2）得∣∣﹢∣∣﹢∣∣﹦3。8.過拋物線上一定點P()(0)分別作斜率為-和的直線、，
4、設、與拋物線交與A、B兩點，則直線AB的斜率為-（定值）。證明：設A()、B()，由得則（1）。同理，得（2）由（1）（2）得則===-。9.設P()(0)是拋物線的一定點，斜率為-的直線與拋物線交與A、B兩點，則直線PA、PB斜率之和為0（定值）。證明：設A()、B()由得則。====0.10.已知拋物線上的兩個定點P(),Q,),過P、Q作傾角互補的兩條直線PA,QB,分別與拋物線交與異于P、Q的點A和B,則直線AB的斜率為（定值）。證明：設A(),B()因P、Q、A、B都在拋物線上，所以==
5、，同理，，。因為，所以故?！緟⒖嘉墨I】[1]劉銘。平面解析幾何的定值問題，遼寧招生考試，2009（2）[2]彭世金。對圓錐曲線的一類定值問題的再思考，數學教學通訊，2006（9）
