初等模型_數(shù)學(xué)模型第三版電子課件姜啟源謝金星葉俊編制

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1、第二章初等模型2.1公平的席位分配2.2錄像機(jī)計(jì)數(shù)器的用途2.3雙層玻璃窗的功效2.4汽車剎車距離2.5劃艇比賽的成績(jī)2.6實(shí)物交換2.7核軍備競(jìng)賽2.8啟帆遠(yuǎn)航2.9量綱分析與無量綱化2.1公平的席位分配系別學(xué)生比例20席的分配人數(shù)（%）比例結(jié)果甲10351.5乙6331.5丙3417.0總和200100.020.02021席的分配比例結(jié)果10.8156.6153.57021.00021問題三個(gè)系學(xué)生共200名（甲系100，乙系60，丙系40），代表會(huì)議共20席，按比例分配，三個(gè)系分別為10，6，4席。現(xiàn)因?qū)W生轉(zhuǎn)系，三系人數(shù)為103,63,34,問20席如何分配。若增加為21席，又如何分配

2、。比例加慣例對(duì)丙系公平嗎系別學(xué)生比例20席的分配人數(shù)（%）比例結(jié)果甲10351.510.3乙6331.56.3丙3417.03.4總和200100.020.020系別學(xué)生比例20席的分配人數(shù)（%）比例結(jié)果甲10351.510.310乙6331.56.36丙3417.03.44總和200100.020.02021席的分配比例結(jié)果10.815116.61573.570321.00021“公平”分配方法衡量公平分配的數(shù)量指標(biāo)人數(shù)席位A方p1n1B方p2n2當(dāng)p1/n1=p2/n2時(shí)，分配公平p1/n1–p2/n2~對(duì)A的絕對(duì)不公平度p1=150,n1=10,p1/n1=15p2=100,n2=10

3、,p2/n2=10p1=1050,n1=10,p1/n1=105p2=1000,n2=10,p2/n2=100p1/n1–p2/n2=5但后者對(duì)A的不公平程度已大大降低!雖二者的絕對(duì)不公平度相同若p1/n1>p2/n2，對(duì)不公平Ap1/n1–p2/n2=5公平分配方案應(yīng)使rA,rB盡量小設(shè)A,B已分別有n1,n2席，若增加1席，問應(yīng)分給A,還是B不妨設(shè)分配開始時(shí)p1/n1>p2/n2，即對(duì)A不公平~對(duì)A的相對(duì)不公平度將絕對(duì)度量改為相對(duì)度量類似地定義rB(n1,n2)將一次性的席位分配轉(zhuǎn)化為動(dòng)態(tài)的席位分配,即“公平”分配方法若p1/n1>p2/n2，定義1）若p1/(n1+1)>p2/n2，則

4、這席應(yīng)給A2）若p1/(n1+1)p2/(n2+1)，應(yīng)計(jì)算rB(n1+1,n2)應(yīng)計(jì)算rA(n1,n2+1)若rB(n1+1,n2)p2/n2問：p1/n1rA(n1,n2+1),則這席應(yīng)給B當(dāng)rB(n1+1,n2)

5、完畢甲系：p1=103,n1=10乙系：p2=63,n2=6丙系：p3=34,n3=3用Q值方法分配第20席和第21席第20席第21席同上Q3最大，第21席給丙系甲系11席，乙系6席，丙系4席Q值方法分配結(jié)果公平嗎？Q1最大，第20席給甲系進(jìn)一步的討論Q值方法比“比例加慣例”方法更公平嗎？席位分配的理想化準(zhǔn)則已知:m方人數(shù)分別為p1,p2,…,pm,記總?cè)藬?shù)為P=p1+p2+…+pm,待分配的總席位為N。設(shè)理想情況下m方分配的席位分別為n1,n2,…,nm(自然應(yīng)有n1+n2+…+nm=N)，記qi=Npi/P,i=1,2,…,m,ni應(yīng)是N和p1,…,pm的函數(shù)，即ni=ni(N,p1,…

6、,pm)若qi均為整數(shù)，顯然應(yīng)ni=qiqi=Npi/P不全為整數(shù)時(shí)，ni應(yīng)滿足的準(zhǔn)則：記[qi]–=floor(qi)~向?qi方向取整；[qi]+=ceil(qi)~向?qi方向取整.1)[qi]–?ni?[qi]+(i=1,2,…,m),2)ni(N,p1,…,pm)?ni(N+1,p1,…,pm)(i=1,2,…,m)即ni必取[qi]–,[qi]+之一即當(dāng)總席位增加時(shí)，ni不應(yīng)減少“比例加慣例”方法滿足1），但不滿足2）Q值方法滿足2）,但不滿足1）。令人遺憾！問題在一次使用中錄像帶已經(jīng)轉(zhuǎn)過大半，計(jì)數(shù)器讀數(shù)為4450，問剩下的一段還能否錄下1小時(shí)的節(jié)目？要求不僅回答問題，而且建立計(jì)

7、數(shù)器讀數(shù)與錄像帶轉(zhuǎn)過時(shí)間的關(guān)系。思考計(jì)數(shù)器讀數(shù)是均勻增長(zhǎng)的嗎？2.2錄像機(jī)計(jì)數(shù)器的用途經(jīng)試驗(yàn)，一盤標(biāo)明180分鐘的錄像帶從頭走到尾，時(shí)間用了184分，計(jì)數(shù)器讀數(shù)從0000變到6061。錄像機(jī)計(jì)數(shù)器的工作原理主動(dòng)輪壓輪0000左輪盤右輪盤磁頭計(jì)數(shù)器錄像帶錄像帶運(yùn)動(dòng)方向錄像帶運(yùn)動(dòng)右輪盤半徑增大右輪轉(zhuǎn)速不是常數(shù)錄像帶運(yùn)動(dòng)速度是常數(shù)計(jì)數(shù)器讀數(shù)增長(zhǎng)變慢問題分析觀察計(jì)數(shù)器讀數(shù)增長(zhǎng)越來越慢！模型假設(shè)錄像帶的運(yùn)動(dòng)速度是常數(shù)v