數(shù)學(xué)模型全套配套課件第4版姜啟源謝金星葉俊 M13-2010.ppt

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1、第十三章動態(tài)優(yōu)化模型13.1速降線與短程線13.2生產(chǎn)計劃的制訂13.3國民收入的增長13.4漁船出海13.5賽跑的速度13.6多階段最優(yōu)生產(chǎn)計劃連續(xù)動態(tài)過程的優(yōu)化歸結(jié)為求泛函的極值.求泛函極值的常用方法:變分法、最優(yōu)控制論.離散動態(tài)過程的優(yōu)化~動態(tài)規(guī)劃模型.靜態(tài)優(yōu)化問題優(yōu)化目標是數(shù)值最優(yōu)策略是數(shù)值函數(shù)對應(yīng)的數(shù)值稱為泛函(函數(shù)的函數(shù)).動態(tài)優(yōu)化問題優(yōu)化目標是數(shù)值最優(yōu)策略是函數(shù)13.1速降線與短程線通過兩個古典問題介紹變分法的基本概念,給出主要結(jié)果.速降線問題給定豎直平面內(nèi)不在一條垂直線上的兩個點A,B,求連接A,B的光滑曲線，使質(zhì)點在重力作用下沿該曲線以最

2、短時間從A滑到B(摩擦力不計)..A.B若沿陡峭曲線下滑,雖路徑加長，但速度增長很快.若沿直線段AB下滑,路徑雖短,但速度增長慢;速降線問題.A.B建立坐標系xOy,xyy=y(x)O曲線弧長能量守恒質(zhì)點在曲線y(x)上的速度ds/dt質(zhì)點沿曲線y(x)從A到B的時間求y(x)使J(y(x))達到最小.m~質(zhì)點質(zhì)量，g~重力加速度A(0,0),B(x1,y1),曲線AB~y=y(x)滿足條件短程線問題.A.Bxyzo給定曲面上的兩個點A,B,求曲面上連接A,B的最短曲線.建立坐標系A(chǔ)(x0,y0,z0),B(x1,y1,z1)曲線的弧長曲線的長度求y=y(

3、x),z=z(x)使J(y(x),z(x))達到最小.滿足條件曲面方程f(x,y,z)=0f(x,y,z)=0曲面上連接A,B的曲線y=y(x),z=z(x)y=y(x)z=z(x)泛函、泛函的變分和極值自變量t，函數(shù)x(t),y(t)函數(shù)、函數(shù)的微分和極值泛函、泛函的變分和極值1.對于t在某域的任一個值,有y的一個值與之對應(yīng),稱y是t的函數(shù)，記作y=f(t)1.對于某函數(shù)集合的每一個函數(shù)x(t),有J的一個值與之對應(yīng),稱J是x(t)的泛函,記作J(x(t))2.t在t0的增量記作?t=t-t0,微分dt=?t2.x(t)在x0(t)的增量記作?x(t)=

4、x(t)-x0(t)，?x(t)稱x(t)的變分3.y在t0的增量記作?f=f(t0+?t)-f(t0)，?f的線性主部是函數(shù)的微分,記作dy，dy=f?(t0)dt3.泛函J(x(t))在x0(t)的增量記作?J=J(x0(t)+?x(t))-J(x0(t)),?J的線性主部稱泛函的變分,記作?J(x0(t))泛函、泛函的變分和極值函數(shù)、函數(shù)的微分和極值泛函、泛函的變分和極值4.若函數(shù)y在域內(nèi)t點達到極值，則在t點的微分dy(t)=04.若泛函J(x(t))在函數(shù)集合內(nèi)的x(t)達到極值,則在x(t)的變分?J(x(t))=05.y在t的微分的另一表達式

5、5.泛函J(x(t))在x(t)的變分可以表為泛函J(x(t))在x(t)達到極值的必要條件歐拉方程(最簡泛函極值的必要條件)最簡泛函F具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，x(t)為二階可微函數(shù)固定端點條件下的泛函J(x(t))在x(t)達到極值的必要條件:x(t)滿足二階微分方程兩個任意常數(shù)由確定歐拉方程用歐拉方程解速降線問題求y(x)使達到最小,且歐拉方程圓滾線方程c2=0,c1由y(x1)=y1確定.橫截條件(變動端點問題)容許函數(shù)x(t)的一個端點固定:x(t1)=x1，另一個端點在給定曲線x=?(t)上變動:x(t2)=?(t2)(t2可變).x(t).A.Bx

6、=?(t)txot2歐拉方程在變動端點的定解條件x=?(t)垂直于橫軸(t2固定)x=?(t)平行于橫軸包含多個未知函數(shù)泛函的歐拉方程歐拉方程泛函的條件極值求u(t)?U(容許集合)使J(u(t))在條件下達到極值,且x(t)?X(容許集合)最優(yōu)控制問題:u(t)~控制函數(shù),x(t)~狀態(tài)函數(shù)(軌線).泛函的條件極值用拉格朗日乘子化為無條件極值歐拉方程由方程組和端點條件解出最優(yōu)控制u(t)和最優(yōu)軌線x(t).Hamilton函數(shù)13.2生產(chǎn)計劃的制訂問題生產(chǎn)任務(wù)是在一定時間內(nèi)提供一定數(shù)量的產(chǎn)品.生產(chǎn)費用隨著生產(chǎn)率(單位時間的產(chǎn)量)的增加而變大.貯存費用隨著

7、已經(jīng)生產(chǎn)出來的產(chǎn)量的增加而變大.生產(chǎn)計劃用每一時刻的累積產(chǎn)量表示.建模目的尋求最優(yōu)生產(chǎn)計劃,使完成生產(chǎn)任務(wù)所需的總費用(生產(chǎn)費用與貯存費用之和)最小.分析與假設(shè)生產(chǎn)任務(wù):t=0開始生產(chǎn),t=T提供數(shù)量為Q的產(chǎn)品.生產(chǎn)計劃(累積產(chǎn)量):x(t)生產(chǎn)率(單位時間產(chǎn)量):生產(chǎn)費用貯存費用總費用生產(chǎn)率提高一個單位的生產(chǎn)費用與生產(chǎn)率成正比貯存費用與貯存量成正比模型與求解求x(t)(?0,0?t?T)使C(x(t))最小.歐拉方程考察x(t)?0(0?t?T)的條件txQTO只有當(dāng)生產(chǎn)任務(wù)Q足夠大時才需要從t=0開始生產(chǎn).若怎么辦??模型解釋最優(yōu)生產(chǎn)計劃滿足方程~邊際

8、成本生產(chǎn)費用貯存費用~邊際貯存最優(yōu)生產(chǎn)計劃在邊際成本的變化率等于邊