數(shù)學(xué)模型全套配套課件第4版姜啟源謝金星葉俊 M13-2010.ppt

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1、第十三章動(dòng)態(tài)優(yōu)化模型13.1速降線與短程線13.2生產(chǎn)計(jì)劃的制訂13.3國(guó)民收入的增長(zhǎng)13.4漁船出海13.5賽跑的速度13.6多階段最優(yōu)生產(chǎn)計(jì)劃連續(xù)動(dòng)態(tài)過(guò)程的優(yōu)化歸結(jié)為求泛函的極值.求泛函極值的常用方法:變分法、最優(yōu)控制論.離散動(dòng)態(tài)過(guò)程的優(yōu)化~動(dòng)態(tài)規(guī)劃模型.靜態(tài)優(yōu)化問(wèn)題優(yōu)化目標(biāo)是數(shù)值最優(yōu)策略是數(shù)值函數(shù)對(duì)應(yīng)的數(shù)值稱為泛函(函數(shù)的函數(shù)).動(dòng)態(tài)優(yōu)化問(wèn)題優(yōu)化目標(biāo)是數(shù)值最優(yōu)策略是函數(shù)13.1速降線與短程線通過(guò)兩個(gè)古典問(wèn)題介紹變分法的基本概念,給出主要結(jié)果.速降線問(wèn)題給定豎直平面內(nèi)不在一條垂直線上的兩個(gè)點(diǎn)A,B,求連接A,B的光滑曲線，使質(zhì)點(diǎn)在重力作用下沿該曲線以最

2、短時(shí)間從A滑到B(摩擦力不計(jì))..A.B若沿陡峭曲線下滑,雖路徑加長(zhǎng)，但速度增長(zhǎng)很快.若沿直線段AB下滑,路徑雖短,但速度增長(zhǎng)慢;速降線問(wèn)題.A.B建立坐標(biāo)系xOy,xyy=y(x)O曲線弧長(zhǎng)能量守恒質(zhì)點(diǎn)在曲線y(x)上的速度ds/dt質(zhì)點(diǎn)沿曲線y(x)從A到B的時(shí)間求y(x)使J(y(x))達(dá)到最小.m~質(zhì)點(diǎn)質(zhì)量，g~重力加速度A(0,0),B(x1,y1),曲線AB~y=y(x)滿足條件短程線問(wèn)題.A.Bxyzo給定曲面上的兩個(gè)點(diǎn)A,B,求曲面上連接A,B的最短曲線.建立坐標(biāo)系A(chǔ)(x0,y0,z0),B(x1,y1,z1)曲線的弧長(zhǎng)曲線的長(zhǎng)度求y=y(

3、x),z=z(x)使J(y(x),z(x))達(dá)到最小.滿足條件曲面方程f(x,y,z)=0f(x,y,z)=0曲面上連接A,B的曲線y=y(x),z=z(x)y=y(x)z=z(x)泛函、泛函的變分和極值自變量t，函數(shù)x(t),y(t)函數(shù)、函數(shù)的微分和極值泛函、泛函的變分和極值1.對(duì)于t在某域的任一個(gè)值,有y的一個(gè)值與之對(duì)應(yīng),稱y是t的函數(shù)，記作y=f(t)1.對(duì)于某函數(shù)集合的每一個(gè)函數(shù)x(t),有J的一個(gè)值與之對(duì)應(yīng),稱J是x(t)的泛函,記作J(x(t))2.t在t0的增量記作?t=t-t0,微分dt=?t2.x(t)在x0(t)的增量記作?x(t)=

4、x(t)-x0(t)，?x(t)稱x(t)的變分3.y在t0的增量記作?f=f(t0+?t)-f(t0)，?f的線性主部是函數(shù)的微分,記作dy，dy=f?(t0)dt3.泛函J(x(t))在x0(t)的增量記作?J=J(x0(t)+?x(t))-J(x0(t)),?J的線性主部稱泛函的變分,記作?J(x0(t))泛函、泛函的變分和極值函數(shù)、函數(shù)的微分和極值泛函、泛函的變分和極值4.若函數(shù)y在域內(nèi)t點(diǎn)達(dá)到極值，則在t點(diǎn)的微分dy(t)=04.若泛函J(x(t))在函數(shù)集合內(nèi)的x(t)達(dá)到極值,則在x(t)的變分?J(x(t))=05.y在t的微分的另一表達(dá)式

5、5.泛函J(x(t))在x(t)的變分可以表為泛函J(x(t))在x(t)達(dá)到極值的必要條件歐拉方程(最簡(jiǎn)泛函極值的必要條件)最簡(jiǎn)泛函F具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，x(t)為二階可微函數(shù)固定端點(diǎn)條件下的泛函J(x(t))在x(t)達(dá)到極值的必要條件:x(t)滿足二階微分方程兩個(gè)任意常數(shù)由確定歐拉方程用歐拉方程解速降線問(wèn)題求y(x)使達(dá)到最小,且歐拉方程圓滾線方程c2=0,c1由y(x1)=y1確定.橫截條件(變動(dòng)端點(diǎn)問(wèn)題)容許函數(shù)x(t)的一個(gè)端點(diǎn)固定:x(t1)=x1，另一個(gè)端點(diǎn)在給定曲線x=?(t)上變動(dòng):x(t2)=?(t2)(t2可變).x(t).A.Bx

6、=?(t)txot2歐拉方程在變動(dòng)端點(diǎn)的定解條件x=?(t)垂直于橫軸(t2固定)x=?(t)平行于橫軸包含多個(gè)未知函數(shù)泛函的歐拉方程歐拉方程泛函的條件極值求u(t)?U(容許集合)使J(u(t))在條件下達(dá)到極值,且x(t)?X(容許集合)最優(yōu)控制問(wèn)題:u(t)~控制函數(shù),x(t)~狀態(tài)函數(shù)(軌線).泛函的條件極值用拉格朗日乘子化為無(wú)條件極值歐拉方程由方程組和端點(diǎn)條件解出最優(yōu)控制u(t)和最優(yōu)軌線x(t).Hamilton函數(shù)13.2生產(chǎn)計(jì)劃的制訂問(wèn)題生產(chǎn)任務(wù)是在一定時(shí)間內(nèi)提供一定數(shù)量的產(chǎn)品.生產(chǎn)費(fèi)用隨著生產(chǎn)率(單位時(shí)間的產(chǎn)量)的增加而變大.貯存費(fèi)用隨著

7、已經(jīng)生產(chǎn)出來(lái)的產(chǎn)量的增加而變大.生產(chǎn)計(jì)劃用每一時(shí)刻的累積產(chǎn)量表示.建模目的尋求最優(yōu)生產(chǎn)計(jì)劃,使完成生產(chǎn)任務(wù)所需的總費(fèi)用(生產(chǎn)費(fèi)用與貯存費(fèi)用之和)最小.分析與假設(shè)生產(chǎn)任務(wù):t=0開(kāi)始生產(chǎn),t=T提供數(shù)量為Q的產(chǎn)品.生產(chǎn)計(jì)劃(累積產(chǎn)量):x(t)生產(chǎn)率(單位時(shí)間產(chǎn)量):生產(chǎn)費(fèi)用貯存費(fèi)用總費(fèi)用生產(chǎn)率提高一個(gè)單位的生產(chǎn)費(fèi)用與生產(chǎn)率成正比貯存費(fèi)用與貯存量成正比模型與求解求x(t)(?0,0?t?T)使C(x(t))最小.歐拉方程考察x(t)?0(0?t?T)的條件txQTO只有當(dāng)生產(chǎn)任務(wù)Q足夠大時(shí)才需要從t=0開(kāi)始生產(chǎn).若怎么辦??模型解釋最優(yōu)生產(chǎn)計(jì)劃滿足方程~邊際

8、成本生產(chǎn)費(fèi)用貯存費(fèi)用~邊際貯存最優(yōu)生產(chǎn)計(jì)劃在邊際成本的變化率等于邊