數(shù)學(xué)模型全套配套課件第4版姜啟源謝金星葉俊 M05-2010.ppt

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1、第五章微分方程模型5.1傳染病模型5.2經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)模型5.3正規(guī)戰(zhàn)與游擊戰(zhàn)5.4藥物在體內(nèi)的分布與排除5.5香煙過(guò)濾嘴的作用5.6人口的預(yù)測(cè)和控制5.7煙霧的擴(kuò)散與消失5.8萬(wàn)有引力定律的發(fā)現(xiàn)動(dòng)態(tài)模型描述對(duì)象特征隨時(shí)間(空間)的演變過(guò)程.分析對(duì)象特征的變化規(guī)律.預(yù)報(bào)對(duì)象特征的未來(lái)性態(tài).研究控制對(duì)象特征的手段.根據(jù)函數(shù)及其變化率之間的關(guān)系確定函數(shù).微分方程建模根據(jù)建模目的和問題分析作出簡(jiǎn)化假設(shè).按照內(nèi)在規(guī)律或用類比法建立微分方程.5.1傳染病模型描述傳染病的傳播過(guò)程.分析受感染人數(shù)的變化規(guī)律.預(yù)報(bào)傳染病高潮到來(lái)的時(shí)刻.

2、預(yù)防傳染病蔓延的手段.不是從醫(yī)學(xué)角度分析各種傳染病的特殊機(jī)理,而是按照傳播過(guò)程的一般規(guī)律建立數(shù)學(xué)模型.背景與問題傳染病的極大危害(艾滋病、SARS、?)基本方法已感染人數(shù)(病人)i(t)每個(gè)病人每天有效接觸(足以使人致病)人數(shù)為?模型1假設(shè)若有效接觸的是病人,則不能使病人數(shù)增加必須區(qū)分已感染者(病人)和未感染者(健康人)建模?模型2區(qū)分已感染者(病人)和未感染者(健康人)假設(shè)1）總?cè)藬?shù)N不變，病人和健康人的比例分別為.2）每個(gè)病人每天有效接觸人數(shù)為?,且使接觸的健康人致病.建模?~日接觸率SI模型模型21/2tmi

3、i010ttm~傳染病高潮到來(lái)時(shí)刻?(日接觸率)??tm?Logistic模型病人可以治愈！?t=tm,di/dt最大模型3傳染病無(wú)免疫性——病人治愈成為健康人，健康人可再次被感染.增加假設(shè)SIS模型3）病人每天治愈的比例為??~日治愈率建模?~日接觸率1/?~感染期?~一個(gè)感染期內(nèi)每個(gè)病人的有效接觸人數(shù)，稱為接觸數(shù).mls/=模型3i0i0接觸數(shù)?=1~閾值感染期內(nèi)有效接觸使健康者感染的人數(shù)不超過(guò)原有的病人數(shù)1-1/?i0模型2(SI模型)如何看作模型3(SIS模型)的特例idi/dtO1?>1Oti?>11-1

4、/?iOt??1di/dt<0?>1,i0<1-1/?i(t)按S形曲線增長(zhǎng)接觸數(shù)?(感染期內(nèi)每個(gè)病人的有效接觸人數(shù))i(t)單調(diào)下降模型4傳染病有免疫性——病人治愈后即移出感染系統(tǒng)，稱移出者.SIR模型假設(shè)1）總?cè)藬?shù)N不變，病人、健康人和移出者的比例分別為.2）病人的日接觸率?,日治愈率?,接觸數(shù)?=?/?建模需建立的兩個(gè)方程.模型4SIR模型無(wú)法求出的解析解先做數(shù)值計(jì)算,再在相平面上研究解析解性質(zhì)(通常r(0)=r0很小)模型4SIR模型的數(shù)值解i(t)從初值增長(zhǎng)到最大;t??,i?0.s(t)單調(diào)減;t??,

5、s?0.04.設(shè)?=1,?=0.3,i0=0.02,s0=0.98,用MATLAB計(jì)算作圖i(t),s(t)及i(s)si相軌線i(s)模型4消去dtSIR模型的相軌線分析相軌線的定義域相軌線11siOD在D內(nèi)作相軌線的圖形，進(jìn)行分析si1O1D模型4SIR模型相軌線及其分析傳染病蔓延傳染病不蔓延s(t)單調(diào)減?相軌線的方向P1s0imP1:s0>1/??i(t)先升后降至0P2:s0<1/??i(t)單調(diào)降至01/?~閾值P3P4P2S0模型4SIR模型預(yù)防傳染病蔓延的手段?(日接觸率)??衛(wèi)生水平??(日治愈率

6、)??醫(yī)療水平?傳染病不蔓延的條件——s0<1/??的估計(jì)降低s0提高r0提高閾值1/?降低?(=?/?)??,??群體免疫忽略i0模型4預(yù)防傳染病蔓延的手段降低日接觸率?提高日治愈率?提高移出比例r0以最終未感染比例s?和病人比例最大值im為度量指標(biāo).??1/?s0i0s?i?10.30.30.980.020.03980.34490.60.30.50.980.020.19650.16350.50.51.00.980.020.81220.02000.40.51.250.980.020.91720.020010.30

7、.30.700.020.08400.16850.60.30.50.700.020.30560.05180.50.51.00.700.020.65280.02000.40.51.250.700.020.67550.0200??,??s0?(r0?)s??,im?s??,im?模型4SIR模型被傳染人數(shù)的估計(jì)記被傳染人數(shù)比例x<

8、4:描述傳播過(guò)程,分析變化規(guī)律,預(yù)報(bào)高潮時(shí)刻,預(yù)防蔓延手段.模型4:數(shù)值計(jì)算與理論分析相結(jié)合.5.2經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)模型增加生產(chǎn)發(fā)展經(jīng)濟(jì)增加投資增加勞動(dòng)力提高技術(shù)建立產(chǎn)值與資金、勞動(dòng)力之間的關(guān)系.研究資金與勞動(dòng)力的最佳分配，使投資效益最大.調(diào)節(jié)資金與勞動(dòng)力的增長(zhǎng)率，使經(jīng)濟(jì)(生產(chǎn)率)增長(zhǎng).1）道格拉斯(Douglas)生產(chǎn)函數(shù)產(chǎn)值Q(t)F為待定函數(shù)資金K(t)勞動(dòng)力