立體幾何圖形中動(dòng)點(diǎn)軌跡的探求策略

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1、立體幾何圖形中動(dòng)點(diǎn)軌跡的探求策略文/尚繼惠由于高考強(qiáng)化能力立意，因此一些創(chuàng)新試題不斷出現(xiàn)。立體兒何也不例外，比如其中動(dòng)點(diǎn)軌跡問題，就很亮眼，這非常易于考察學(xué)生的創(chuàng)新精神和探索能力。那么對(duì)這類問題該采取怎樣的探求策略呢？現(xiàn)提供如下兒種方式。一、特款檢驗(yàn)例1（04重慶理）若三棱錐A-BCD的側(cè)回ABC內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)P到底面BCD的距離與到棱AB的距離相等，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡在側(cè)而ABC內(nèi)紐成的圖形可能是（）DA解析「'特款檢驗(yàn)”是采取特殊化策略，因本題沒有說三棱錐是什么具體樣子，所以我們不妨川特殊情形來驗(yàn)證。如令三棱錐A-BCD為直棱錐，如圖，AB丄面BCD,即有而AB

2、C垂直UlBCD,P到血BCD的距離即為P到BC的距離，那么在側(cè)而ABC中到AB與到BC距離相等的動(dòng)點(diǎn)P的軌跡顯然是一條直線，即為上ABC的平分線，于是否掉4,3。對(duì)CQ該選那個(gè)呢？再令4C丄jfliBCD,立即知道D真。二、理論推導(dǎo)例2（04天津文）如圖，定點(diǎn)A和B都在平面G內(nèi)，定點(diǎn)P",PB丄Q,C是Q內(nèi)異于A和B的動(dòng)點(diǎn)，口FC丄AC.那么，動(dòng)點(diǎn)C在平血Q內(nèi)的軌跡是（）A.一條線段，但要去掉兩個(gè)點(diǎn)B.一個(gè)圓，但要去掉兩個(gè)點(diǎn)C.一個(gè)橢圓，但要去掉兩個(gè)點(diǎn)D.半圓，但耍去掉兩個(gè)點(diǎn)。解析：“理論推導(dǎo)”就是根據(jù)條件進(jìn)行線而關(guān)系的理論推證，這類問題主要考立體兒何的

3、基礎(chǔ)知識(shí)。如本題主要是考三垂線定理。由條件易知是4C在而&上的攝影，因?yàn)镻C丄AC,所以3C丄AC。則點(diǎn)C在面a上的軌跡是以為直徑的圓周。但由于C是Q內(nèi)異于A和B的點(diǎn)，則其軌跡要去除兩點(diǎn)，因此正確答案為例3已知平而&//平而0,宜線/在a內(nèi)，點(diǎn)Pg/,平而a,0間的距離為8,貝恠0內(nèi)到點(diǎn)P的距離為10>1?到直線/的距離為9的點(diǎn)的軌跡是（）4一個(gè)圓B兩條直線C四個(gè)點(diǎn)解析：如圖，點(diǎn)P在而0上的攝彩為O,貝i」OP=8。在而0內(nèi)到點(diǎn)P的距離等于10的點(diǎn)等價(jià)于到O的距離等于6的點(diǎn)，故點(diǎn)的集合是以O(shè)為圓心、6為半徑的圓。在0內(nèi)到宜線/的距離答應(yīng)9的點(diǎn)的集合是兩條平行

4、直線心，它們到點(diǎn)O的距離都等于792-82=V17<6,所以直線丹“均與這個(gè)圓相交，共有四個(gè)點(diǎn)，I大I此所軌跡是四個(gè)點(diǎn)，選C。三、定義考察例4（04北京理）如圖，在止方體ABCD-中，P是側(cè)hiBB}C}C內(nèi)一動(dòng)點(diǎn),若P到直線BC與直線CXD｝的距離相等，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡所在的曲線是（）A.直線B.圓C.雙曲線D.拋物線。解析「'定義考察”是熟練利川I員I錐曲線定義進(jìn)行動(dòng)點(diǎn)軌跡考查，因?yàn)樵S多立體兒何圖形中的動(dòng)點(diǎn)軌跡問題是有意與解析兒何交匯的。如木題即知點(diǎn)尸到的距離就是PC、,于是在側(cè)而BBGC內(nèi)點(diǎn)P到定點(diǎn)G與到定直線BC的距離相等，則由拋物線定義可知，點(diǎn)P的

5、軌跡為拋物線，選I）。例5已知分別為梯形ABCD的腰AB,CD的中點(diǎn)，ZABC=90°,AB=6,現(xiàn)將梯形沿EF折成直二面角A-EF-C,此時(shí)在血AEFD上有動(dòng)點(diǎn)M,若M到AD的距離是M到BE距離的二倍，則點(diǎn)M的軌跡可以是下血哪條曲線的一部分（）解析：因A-EF-C為直二面和，則由條件可知BF丄面AEFD,???BE1ME,即ME為M到BE的距離。過M作M/V丄AZ）MF1于N,則何—由橢圓第二定義可知MN2點(diǎn)M的軌跡是橢圜，且由橢圓知識(shí)得c12,由此解得°一,從而b=???橢圓方程為丄+2_=1，故選3。疋k=l43c=3四、坐標(biāo)運(yùn)算例6異面直線u,b所成

6、角為60°,它們公垂線段為EF,且EF=2,定長為4的線段AB兩端分別在a,b上移動(dòng)，試問線段AB的中點(diǎn)P的軌跡為何種曲線？解析：“朋標(biāo)運(yùn)算”是指用處標(biāo)法來導(dǎo)求動(dòng)點(diǎn)軌跡的方程，從而確定立體幾何圖形中的動(dòng)點(diǎn)軌跡的曲線形狀。顯然此類問題更加強(qiáng)化了立體幾何為解析幾何的有機(jī)結(jié)合。點(diǎn)P的軌跡必在過EF的中點(diǎn)且平行于a,b的平面a內(nèi)，現(xiàn)在a內(nèi)過O分別作a'lla^b1Hb,在&上的攝影必落在/,/舁上，設(shè)為A-B-則乙4仙=60°,且A矽的中點(diǎn)必為AB的中點(diǎn)P。又AB=4,EF=2,:?aS=羽,=2a/3o于是問題轉(zhuǎn)化為定長為2込的線段屮"的兩端點(diǎn)分別在/,//上移動(dòng)

7、時(shí)，求其屮點(diǎn)P的軌跡。以直線abf的兩條角分線為處標(biāo)軸建立平面直角處標(biāo)系，如上圖，設(shè)10屮1=加，空侖2￡巧=-加n1>>0島41-4IOB’l=n,再設(shè)P(x,y),則,B1~~n)?于是有+2y-2v將此式代入A'OB'屮的關(guān)系式m2+n2-m-n=2整理得F+9y2=9,這就是點(diǎn)P的軌跡方程，故其軌跡是橢惻曲線。