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1、’2012-4-9端點在成θ角的兩異面直線上移動的定長連線段中點軌跡Wangzhijunsarticle端點在所成θ角的兩條異面直線上移動的定長連線段中點軌跡問題（030012山西太原五中王志軍）一、準(zhǔn)備知識：1、兩條異面直線到其公垂線段的中垂面距離相等，且等于公垂線段長的一半。2、兩條異面直線上任意兩點連線段的中點在其公垂線段的中垂面上。（證明提示：兩條異面直線上任意兩點連線段與其公垂線段的中垂面的交點為連線段的中點。）二、問題及問題的探究：0問題1：設(shè)異面直線a、b成90角，它們的公垂線段為EF=2，線段AB=4，且端點A、B分別在異面直線a
2、、b上移動。（1）指出連線段AB中點P的軌跡所在位置。（2）求連線段AB中點P的軌跡。分析：（1）由準(zhǔn)備知識2知，連線段AB中點P的軌跡在異面直線的公垂線段的中垂面上。線段AB在異面直線的公垂線段的中垂面上的射影CD=23。異面直線a、b在其中垂面上的射影直線OC與OD垂直相交，把“連線段AB中點P的軌跡”問題轉(zhuǎn)化為“中垂平面上，射影線段CD中點P的軌跡”問題。在Rt?COD中，線段OP是斜邊CD1上的中線，OP=CD=3，即點P到點O的距離為3。所以連線段AB中點P的軌2跡是異面直線的公垂線段的中垂面上以點O為圓心、以3為半徑的圓。結(jié)論1：端點
3、在互相垂直的兩條異面直線上移動的定長連線段中點軌跡是異面直線的公注：此文發(fā)表于2006年《中學(xué)生數(shù)學(xué)》第十期上第1頁共4頁’2012-4-9端點在成θ角的兩異面直線上移動的定長連線段中點軌跡Wangzhijunsarticle垂線段的中垂面上的圓。請試思考：端點在互相垂直的兩異面直線上移動的定長連線段的三等份點、任意點（除端點外）軌跡又是什么？0問題2：設(shè)異面直線a、b所成60角，它們的公垂線段為EF=2，線段AB=4，且端點A、B分別在異面直線a、b上移動。（1）指出連線段AB中點P的軌跡所在位置。（2）求連線段AB中點P的軌跡。分析：（1）同
4、問題1（2）由圖可知，“連線段AB中點P的0軌跡”問題轉(zhuǎn)化為“中垂平面上，射影線段CD的端點在成60角的相交直線OC和OD上移動時，射影線段CD中點P的軌跡”問題?！毕虑簏cP的軌跡以點O為原點，以∠COD的角平分線所在的直線為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系（這00樣建系較易消參數(shù)，軌跡方程簡單、標(biāo)準(zhǔn)）。點C(mcos30,msin30)、點0?4x??2x=(m+n)cos30?=m+n00?0?3D(ncos(?30),nsin(?30))。設(shè)P(x,y),則??2y=(m?n)sin30即??4y=m?n2222x2由余弦定理得m+n?mn=(23
5、)=12,消去mn得+y=1。所以，連線段AB中9點P的軌跡是異面直線的公垂線段的中垂面上以點O為中心，長軸長為6，短軸長為2的橢圓。0結(jié)論2：端點在所成60的兩異面直線上移動的定長連線段中點軌跡是異面直線的公垂線注：此文發(fā)表于2006年《中學(xué)生數(shù)學(xué)》第十期上第2頁共4頁’2012-4-9端點在成θ角的兩異面直線上移動的定長連線段中點軌跡Wangzhijunsarticle段的中垂面上的橢圓0請試思考：端點在所成60的兩異面直線上移動的定長連線段的三等份點、任意點（除端點外）軌跡又是什么？問題3：設(shè)異面直線a、b成θ角，它們的公垂線段為EF=p，
6、線段AB=q，且端點A、B分別在異面直線a、b上移動。（1）指出連線段AB中點P的軌跡所在位置。（2）求連線段AB中點P的軌跡。分析同問題2：以點O為原點，以∠COD的角平分線所在的直線為x軸，建立平θθθθ面直角坐標(biāo)系。點C(mcos,msin)、點D(ncos(?),nsin(?))。設(shè)P(x,y),則22222?4x222?=(m+n)?222x2y?θ?2θ?m+n=+2x=(m+n)coscos2θ2θ??2?2?cossin??2?22?2y=(m?n)sinθ即?4y=(m?n)2得?22代入由余弦定理??2?θ?mn=x?y2?s
7、in?2θ2θ?2?cossin?2222122得m+n?2mncosθ=(q?p)式中,消去m、n得422222x(1?cosθ)2y(1+cosθ)22xy+=q?p，即+=1為異面直線的公垂線段θθ222222q?pq?pcossin222θ2θ4tan4cot22的中垂面上的橢圓。結(jié)論3：端點在所成θ角的兩異面直線上移動的定長連線段中點軌跡是0①當(dāng)θ=90時，是異面直線的公垂線段的中垂面上的圓00②當(dāng)0<θ<90時，是異面直線的公垂線段的中垂面上的橢圓0（特殊地，當(dāng)θ=0時，端點在兩平行直線上移動的定長連線段中點軌跡是到兩平行直線等距且共
8、面的平行直線。）三、問題的進一步擴展和研究過程的數(shù)學(xué)價值：（1）本問題可擴展為“一端點固定在兩異面直線一條直線上，另一端點在與它成θ角的
