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1、多目標規(guī)劃方法多目標規(guī)劃解的討論——非劣解多目標規(guī)劃及其求解技術簡介效用最優(yōu)化模型罰款模型約束模型目標規(guī)劃模型目標達到法目標規(guī)劃方法目標規(guī)劃模型目標規(guī)劃的圖解法求解目標規(guī)劃的單純形方法多目標規(guī)劃應用實例多目標規(guī)劃是數學規(guī)劃的一個分支。研究多于一個的目標函數在給定區(qū)域上的最優(yōu)化。又稱多目標最優(yōu)化。通常記為MOP(multi-objectiveprogramming)。在很多實際問題中，例如經濟、管理、軍事、科學和工程設計等領域，衡量一個方案的好壞往往難以用一個指標來判斷，而需要用多個目標來比較，而這些目標有時不甚協(xié)調，甚至是矛盾的。因此有許多學者致力于這方面的
2、研究。1896年法國經濟學家V.帕雷托最早研究不可比較目標的優(yōu)化問題，之后，J.馮·諾伊曼、H.W.庫恩、A.W.塔克、A.M.日夫里翁等數學家做了深入的探討，但是尚未有一個完全令人滿意的定義。3求解多目標規(guī)劃的方法大體上有以下幾種：一種是化多為少的方法，?即把多目標化為比較容易求解的單目標或雙目標，如主要目標法、線性加權法、理想點法等；另一種叫分層序列法，即把目標按其重要性給出一個序列，每次都在前一目標最優(yōu)解集內求下一個目標最優(yōu)解，直到求出共同的最優(yōu)解。對多目標的線性規(guī)劃除以上方法外還可以適當修正單純形法來求解；還有一種稱為層次分析法，是由美國運籌學家沙旦
3、于70年代提出的，這是一種定性與定量相結合的多目標決策與分析方法，對于目標結構復雜且缺乏必要的數據的情況更為實用。多目標規(guī)劃模型（一）任何多目標規(guī)劃問題，都由兩個基本部分組成：（1）兩個以上的目標函數；（2）若干個約束條件。（二）對于多目標規(guī)劃問題，可以將其數學模型一般地描寫為如下形式：一多目標規(guī)劃及其非劣解式中：為決策變量向量?？s寫形式：有n個決策變量，k個目標函數，m個約束方程，則：Z=F(X)是k維函數向量，?(X)是m維函數向量；G是m維常數向量；（1）（2）對于線性多目標規(guī)劃問題，可以進一步用矩陣表示：式中：X為n維決策變量向量；C為k×n矩陣，即
4、目標函數系數矩陣；B為m×n矩陣，即約束方程系數矩陣；b為m維的向量，即約束向量。多目標規(guī)劃的非劣解多目標規(guī)劃問題的求解不能只追求一個目標的最優(yōu)化（最大或最?。?，而不顧其它目標。對于上述多目標規(guī)劃問題，求解就意味著需要做出如下的復合選擇：▲每一個目標函數取什么值，原問題可以得到最滿意的解決？▲每一個決策變量取什么值，原問題可以得到最滿意的解決？在圖1中，max(f1,f2).就方案①和②來說，①的f2目標值比②大，但其目標值f1比②小，因此無法確定這兩個方案的優(yōu)與劣。在各個方案之間，顯然：④比①好，⑤比④好,⑥比②好,⑦比③好……。非劣解可以用圖1說明。圖1
5、多目標規(guī)劃的劣解與非劣解9而對于方案⑤、⑥、⑦之間則無法確定優(yōu)劣，而且又沒有比它們更好的其他方案，所以它們就被稱為多目標規(guī)劃問題的非劣解或有效解，其余方案都稱為劣解。所有非劣解構成的集合稱為非劣解集。當目標函數處于沖突狀態(tài)時，就不會存在使所有目標函數同時達到最大或最小值的最優(yōu)解，于是我們只能尋求非劣解。效用最優(yōu)化模型罰款模型約束模型目標規(guī)劃模型二多目標規(guī)劃求解技術簡介為了求得多目標規(guī)劃問題的非劣解，常常需要將多目標規(guī)劃問題轉化為單目標規(guī)劃問題去處理。實現這種轉化，有如下幾種建模方法。?是與各目標函數相關的效用函數的和函數。方法一效用最優(yōu)化模型（線性加權法）（
6、1）（2）思想：規(guī)劃問題的各個目標函數可以通過一定的方式進行求和運算。這種方法將一系列的目標函數與效用函數建立相關關系，各目標之間通過效用函數協(xié)調，使多目標規(guī)劃問題轉化為傳統(tǒng)的單目標規(guī)劃問題：在用效用函數作為規(guī)劃目標時，需要確定一組權值?i來反映原問題中各目標函數在總體目標中的權重，即：式中，?i應滿足：向量形式：方法二罰款模型（理想點法）思想:規(guī)劃決策者對每一個目標函數都能提出所期望的值（或稱滿意值）；通過比較實際值fi與期望值fi*之間的偏差來選擇問題的解，其數學表達式如下：或寫成矩陣形式：式中，是與第i個目標函數相關的權重；A是由(i=1,2,…,k)
7、組成的m×m對角矩陣。理論依據：若規(guī)劃問題的某一目標可以給出一個可供選擇的范圍，則該目標就可以作為約束條件而被排除出目標組，進入約束條件組中。假如，除第一個目標外，其余目標都可以提出一個可供選擇的范圍，則該多目標規(guī)劃問題就可以轉化為單目標規(guī)劃問題：方法三約束模型（極大極小法）15方法四目標規(guī)劃模型（目標規(guī)劃法）目標規(guī)劃與線性規(guī)劃相比，有以下優(yōu)點：1.線性規(guī)則只討論一個線性目標函數在一組線性約束條件下的極值問題。實際問題中，往往要考慮多個目標的決策問題，這些目標可能互相矛盾，也可能沒有統(tǒng)一的度量單位，很難比較。目標規(guī)劃就能夠兼顧地處理多種目標的關系，求得更切合
8、實際的解。2.線性規(guī)劃是在滿足所有約束條件的可行解中
