沖刺天高考文科數(shù)學(xué)解題策略專題八第四節(jié)運(yùn)用等價轉(zhuǎn)換思想解題的策略(新)

《沖刺天高考文科數(shù)學(xué)解題策略專題八第四節(jié)運(yùn)用等價轉(zhuǎn)換思想解題的策略(新)》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在工程資料-天天文庫。

1、笫四節(jié)運(yùn)用等價轉(zhuǎn)換思想解題的策略等價轉(zhuǎn)換是四大數(shù)學(xué)思想z—,在研究和解決中較難數(shù)學(xué)問題時，采用等價轉(zhuǎn)換思想，將復(fù)雜的問題等價轉(zhuǎn)換為簡單的問題，將難解的問題通過等價轉(zhuǎn)換為容易求解的問題，將未解決的問題等價轉(zhuǎn)換為已解決的問題.近兒年來高考試題要求學(xué)住要有較強(qiáng)的等價轉(zhuǎn)換意識，等價轉(zhuǎn)換思想的應(yīng)用在近兒年來高考試題中處處可見，是解高考試題常用的數(shù)學(xué)思想，難度值一般控制在0.3-0.7.考試要求：(1)了解等價轉(zhuǎn)換的數(shù)學(xué)思想和遵循的基本原則；(2)了解等價轉(zhuǎn)換思想在解題屮的作用；(3)掌握等價轉(zhuǎn)換的主要途徑、方法；(4)掌握幾種常見的等價轉(zhuǎn)換思路，靈活運(yùn)用等價轉(zhuǎn)換思想解決

2、數(shù)學(xué)難題.題型一利用數(shù)學(xué)定義、公式構(gòu)造數(shù)學(xué)模型進(jìn)行等價轉(zhuǎn)換例］.(1)求sin220。+cos280“+巧sin20“cos80°的值;(2)求函數(shù)y=sinx+V1+cos2x的最大值.J點撥：(l)利用所求式與余弦定理類似，再結(jié)合正弦定理的推論求值；(2)將函數(shù)最值問題轉(zhuǎn)換為向量數(shù)量積問題，由數(shù)屋積的不等式性質(zhì)，求出y最人值.解：(1)注意到所求式與余弦定理類似，由c2=a2+/?2-2abcosC<=>sin2C=sin2A+sin2B-2sinAsinBcosC???原式二sin220°+sin210"-2sin20°sin10°cos150°=sin

3、2150"=-.4(2)構(gòu)造向量a=(IMb=(sinx,Vl+cos2x),貝i」Gl=lM=血，由G?力sGl巧丨知，Iy1=1sinx+Jl+cos?兀=a-blcos2x=-^>x=k7r+—,keZ時等號取得.2易錯點’在本例的兩個小題中：(1)若利用三角恒等變形，過程較為復(fù)雜，思路容易受阻；(2)容易想到用換元法和三角恒等變形求函數(shù)的最大值，不能聯(lián)想到平面向壘的數(shù)壘積，計算容易出錯，解題思路容易受阻.血卡匕變式與d+加(1引申1：已知加Ra

4、,求證：〉一?b+mb題型二函數(shù)、方程及不等式解題中的等價轉(zhuǎn)換例2.(1)若d、是正數(shù)，且滿足o/?=d+/?+3,求川?的取值范圍.7T⑵已知奇函數(shù)/(兀)的定義域為實數(shù)集且/(X)在［0,+oc)±是增函數(shù)，當(dāng)0<〃<一時，是否存在27T這樣的實數(shù)加,使/(cos2^-3)+f(4m-2mcos0)>/(0)對所有的處［0,—］均成立?若存在,求出所有適合條件的實數(shù)加；若不存在，請說明理由.點撥：(1)將一個等式轉(zhuǎn)換為不等式，是求變屋取值范圍的重要的方法，通常利用函數(shù)的單調(diào)性解答此類問題，或者利用基本不等式解答這類問題.(2)本題是一道抽象兩數(shù)單調(diào)性、奇偶

5、性的綜合運(yùn)川的問題，由函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性得岀關(guān)于&和加的不等式，既然需求加的取值，不防把此問題轉(zhuǎn)換為加關(guān)于&的函數(shù)和不等式的問題.解：(1)方法一(看成函數(shù)的值域)???db二d+b+3,??.b二而b>0,.*.-^>0,即。>1或a<—3,乂6/>0,a-la-11an1n,a+3(d—l)?+5(a—l)+4,4-na〉1,即a—1>0,ab=a=(a—1)+5>9,a-ia-Ia-l4當(dāng)且僅當(dāng)a-l=——，a=3時等號取得.ci—I方法二(看成不等式的解集)a,b為正數(shù)，:.a+b>2y[ah,乂tab=a+b+3,/.ab>2y[ab+3,即([

6、ab)2-2y[ab-3>0,解得?3或5—1(舍去)，/.ah>9(2)由于(兀)是/?上的奇函數(shù)可得/(0)=0,再利用于(兀)的單調(diào)性,則可把原不等式轉(zhuǎn)換成為關(guān)于&的三角不等式，/(兀)是/?上的奇函數(shù)，乂在[0,+OC)上是增函數(shù)，故/'(兀)是/?上為增函數(shù).???f(cos20-3)+f(4m-2mcos0)>/(0)=0/./(cos20—3)>/(2mcos4m)?/f(x)是上的增函數(shù)，二cos20-3〉2mcos0-4m即cos26-mcos0+2m-2>071令t=cos0,&w[0，一

7、,/.tg[0J1.2于是問題轉(zhuǎn)換為對一切的te[

8、0,1],不等式t2-mt+2/n-2>0恒成立，t2-2:.t2-2>m(t-2)9即加〉恒成立.t-2又???=2)+丄+4S4-2血?.m>4-2^2t-2t-2.??存在實數(shù)滿足題設(shè)的條件，加>4—2血?易錯點：(1)不能將等式轉(zhuǎn)換為函數(shù)或者不等式進(jìn)行研究；(2)由已知不等式，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性找不到0和血的不等式；錯謀理解H變量只為兀，不能把問題轉(zhuǎn)換為&和加的函數(shù)或不等式問題；不能想到用復(fù)合函數(shù)的觀點來研究加的取值，并且容易把問題看成是r關(guān)于加的不等式問題，從而用根的分布來解決此問題，較為繁瑣，容易出錯.變式與引申2：已知函數(shù)f(x)=x4-2

9、ax2.(I)求證：方程/(%)=1有