沖刺天高考文科數(shù)學(xué)解題策略專題八第四節(jié)運(yùn)用等價轉(zhuǎn)換思想解題的策略(新).doc

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1、笫四節(jié)運(yùn)用等價轉(zhuǎn)換思想解題的策略等價轉(zhuǎn)換是四大數(shù)學(xué)思想乙一，在研究和解決屮較難數(shù)學(xué)問題時，采用等價轉(zhuǎn)換思想，將復(fù)雜的問題等價轉(zhuǎn)換為簡單的問題，將難解的問題通過等價轉(zhuǎn)換為容易求解的問題，將未解決的問題等價轉(zhuǎn)換為己解決的問題.近幾年來高考試題要求學(xué)化要有較強(qiáng)的等價轉(zhuǎn)換意識,等價轉(zhuǎn)換思想的應(yīng)用在近幾年來高考試題中處處可見，是解高考試題常用的數(shù)學(xué)思想，難度值一般控制在0.3-0.7.考試要求：(1)了解等價轉(zhuǎn)換的數(shù)學(xué)思想和遵循的基木原則；(2)了解等價轉(zhuǎn)換思想在解題中的作用；(3)掌握等價轉(zhuǎn)換的主要途徑、方法；(4)掌握幾種常見的等價轉(zhuǎn)換思路，靈活運(yùn)用等價轉(zhuǎn)換思想

2、解決數(shù)學(xué)難題.題型一利用數(shù)學(xué)定義、公式構(gòu)造數(shù)學(xué)模型進(jìn)行等價轉(zhuǎn)換例］.(1)求sin220°+cos280°+也sin20°cos80°的值;(2)求函數(shù)y=sin;i+Jl+cos2兀的最大值.點(diǎn)撥：(1)利用所求式與余弦定理類似，再結(jié)合正弦定理的推論求值；(2)將函數(shù)最值問題轉(zhuǎn)換為向量數(shù)量積問題，由數(shù)量積的不等式性質(zhì)，求出y最大值.解:(1)注意到所求式與余弦定理類似，由c2=a2+b2-2abcosC<^>sin2C=sin2A+sin2B-2sinAsinBcosC???原式二sin220°+sin2l0°—2sin20。sin10。cos150°=

3、sin2150"=4(2)構(gòu)造向量a=(1,1),5=(sinx,VI+cos2x),則Ia1=1b1=V2,由Id?乙lcos=x=k7r--—,keZ時等號取得.2易錯點(diǎn)：在本例的兩個小題中：(1)若利用三角恒等變形，過程較為復(fù)雜，思路容易受阻；(2)容易想到用換元法和三角恒等變形求函數(shù)的最大值，不能聯(lián)想到平面向量的數(shù)壘積，計算容易出錯，解題思路容易受阻.血“匕變式與+nin引申已知加

4、w/T,Ra/(0)對所有的&引0,于均成立？若存在,求出所有適合條件的實(shí)數(shù)加；若不存在，請說明理由.點(diǎn)撥：(1)將一個等式轉(zhuǎn)換為不等式,是求變量取值范圍的重要的方法，通常利用函數(shù)的單調(diào)性解答此類問題，或者利用基本不等式解答這類問題.(2)木題是一

5、道抽彖函數(shù)單調(diào)性、奇偶性的綜合運(yùn)用的問題，由函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性得出關(guān)于0和加的不等式，既然需求加的取值，不防把此問題轉(zhuǎn)換為加關(guān)于&的函數(shù)和不等式的問題.解：（1）方法一（看成函數(shù)的值域）I3

6、3ab=a+h+3,:.b=,而b〉0,/.>0,即。>1或。<一3,又。>0,a-a-tHIIinid+3（a—1）~+5（a—1）+44:.a>,即a—1>0,?/ab=a=（Q一1）5>9,a-1a-1a-14當(dāng)且僅當(dāng)a-=——,ci=3時等號取得.ci—I方法二（看成不等式的解集）???a,b為正數(shù)，/.a+b>2y[ab,又ta"=a+方+3,.?

7、.abn2臨+3,即（臨）2—2臨—3A0,解得V^>3或巫1（舍去），/.ab>9（2）由門兀）是/?上的奇函數(shù)可得/（0）=0,再利用/?"）的單調(diào)性,則可把原不等式轉(zhuǎn)換成為關(guān)于&的三角不等式，/（Q是/?上的奇函數(shù)，又在[0,+勿上是增函數(shù)，故/（兀）是/?上為增函數(shù).t/'（cos2〃一3）+f（4加一2mcos0）>/（0）=0f(cos2^-3)>f(2mcos0-4m)???f(x)是/?上的增函數(shù)，二cos20-3>2mcos0一4m即cos20-mcos0+2m-2>0=cos0,^e

8、0,—J,:.tel0,l].2于是問題轉(zhuǎn)換為對一切

9、的tg[0,1],不等式r-mt+2加一2〉0恒成立，t2-2:.r-2>m(t-2)9即加〉恒成立.t-2:.fn>4-2>/2『2_22又???^^=a—2)+-^-+4S4—2血t-2t-2??.存在實(shí)數(shù)滿足題設(shè)的條件，加>4-2血.易錯點(diǎn)：（1）不能將等式轉(zhuǎn)換為函數(shù)或者不等式進(jìn)行研究；（2）由己知不等式，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性找不到0和加的不等式；錯誤理解H變量貝為兀，不能把問題轉(zhuǎn)換為〃和加的函數(shù)或不等式問題；不能想到用復(fù)合函數(shù)的觀點(diǎn)來研究加的取值，并且容易把問題看成是/關(guān)于加的不等式問題，從而用根的分布來解決此問題，較為繁瑣，容易出錯.變式與引

10、申2：己知函數(shù)f（x）=x4-2ax（I）求證：方程/（x）=1